Решите системы уравнений: а) xy(x+y)=30, x^3+y^3=35; б) 3x^2-8xy+4y^2=0, x^2+y^2+13(x-y)=0.

а) $\begin{cases} xy(x + y) = 30 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases}$ Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)$. Пусть $x + y = S$, $xy = P$. Тогда система примет вид: $\begin{cases} PS = 30 \\ S(S^2 - 3P) = 35 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} PS = 30 \\ S^3 - 3PS = 35 \end{cases}$ Подставим $PS = 30$ во второе уравнение: $S^3 - 3 \cdot 30 = 35 \Rightarrow S^3 - 90 = 35 \Rightarrow S^3 = 125 \Rightarrow S = 5$. Найдем $P$: $5P = 30 \Rightarrow P = 6$. Составим квадратное уравнение по теореме Виета: $t^2 - 5t + 6 = 0$. Его корни $t_1 = 2, t_2 = 3$. Значит, пары $(x; y)$ могут быть $(2; 3)$ или $(3; 2)$. **Ответ: (2; 3), (3; 2).** б) $\begin{cases} 3x^2 - 8xy + 4y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 + 13(x - y) = 0 \end{cases}$ Рассмотрим первое уравнение как однородное: $3x^2 - 8xy + 4y^2 = 0$. Разделим на $y^2$ (при $y \neq 0$): $3(\frac{x}{y})^2 - 8(\frac{x}{y}) + 4 = 0$. Пусть $k = \frac{x}{y}$. $3k^2 - 8k + 4 = 0$; $D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16$. $k_1 = \frac{8+4}{6} = 2$, $k_2 = \frac{8-4}{6} = \frac{2}{3}$. 1. Если $x = 2y$, подставим во второе уравнение: $(2y)^2 + y^2 + 13(2y - y) = 0 \Rightarrow 4y^2 + y^2 + 13y = 0 \Rightarrow 5y^2 + 13y = 0 \Rightarrow y(5y + 13) = 0$. $y_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$; $y_2 = -2,6 \Rightarrow x_2 = -5,2$. 2. Если $x = \frac{2}{3}y$, подставим во второе уравнение: $(\frac{2}{3}y)^2 + y^2 + 13(\frac{2}{3}y - y) = 0 \Rightarrow \frac{4}{9}y^2 + y^2 - \frac{13}{3}y = 0 \Rightarrow \frac{13}{9}y^2 - \frac{13}{3}y = 0$. $13y(\frac{1}{9}y - \frac{1}{3}) = 0 \Rightarrow y_3 = 0$ (уже есть), $y_4 = 3 \Rightarrow x_4 = 2$. **Ответ: (0; 0), (-5,2; -2,6), (2; 3).**