Решите уравнение: (x + 1)√(1 + 4x - x²) = x² - 1.

Решим уравнение: $(x + 1)\sqrt{1 + 4x - x^2} = x^2 - 1$. 1. Разложим правую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов: $(x + 1)\sqrt{1 + 4x - x^2} = (x - 1)(x + 1)$ 2. Перенесём все слагаемые в левую часть: $(x + 1)\sqrt{1 + 4x - x^2} - (x - 1)(x + 1) = 0$ 3. Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки: $(x + 1)(\sqrt{1 + 4x - x^2} - (x - 1)) = 0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что выражение имеет смысл. 4. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) из-за корня: $1 + 4x - x^2 \ge 0$ Корни уравнения $x^2 - 4x - 1 = 0$: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$. ОДЗ: $x \in [2 - \sqrt{5}; 2 + \sqrt{5}]$. Примерно: $[-0,24; 4,24]$. 5. Первый корень: $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$ Проверка ОДЗ: $-1 < 2 - \sqrt{5}$, так как $-1 < -0,24$. Корень $x = -1$ **не входит** в ОДЗ. 6. Второй корень: $\sqrt{1 + 4x - x^2} - (x - 1) = 0 \Rightarrow \sqrt{1 + 4x - x^2} = x - 1$ Условие возведения в квадрат: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Возводим обе части в квадрат: $1 + 4x - x^2 = (x - 1)^2$ $1 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 1$ $2x^2 - 6x = 0$ $2x(x - 3) = 0$ $x_2 = 0$ (не подходит по условию $x \ge 1$) $x_3 = 3$ Проверка корня $x = 3$ по ОДЗ: $3 \in [2 - \sqrt{5}; 2 + \sqrt{5}]$, так как $3 < 4,24$. Корень подходит. **Ответ: 3**