К источнику постоянного напряжения с ЭДС, равной 120 В, длительное время был подсоединён конденсатор электроёмкостью C = 100 пФ. После отключения от источника его мгновенно подключают к катушке индуктивностью L = 0,05 Гн, активным сопротивлением которой можно пренебречь. Определите резонансную циклическую частоту для получившегося идеального колебательного контура и максимальную энергию магнитного поля катушки после возникновения электромагнитных колебаний. Запишите формулу зависимости силы тока в контуре от времени.

Дано: $Ɛ = 120\text{ В}$ $C = 100\text{ пФ} = 100 \cdot 10^{-12}\text{ Ф} = 10^{-10}\text{ Ф}$ $L = 0,05\text{ Гн}$ $R = 0$ (идеальный контур) Решение: 1. При длительном подключении к источнику конденсатор заряжается до напряжения, равного ЭДС источника: $U_{max} = Ɛ = 120\text{ В}$. 2. Резонансная циклическая частота идеального колебательного контура вычисляется по формуле: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0,05 \cdot 10^{-10}}} = \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 10^{-12}}} = \frac{1}{10^{-6} \sqrt{5}} = \frac{10^6}{\sqrt{5}} \approx 4,47 \cdot 10^5\text{ рад/с}$. 3. Согласно закону сохранения энергии, максимальная энергия электрического поля конденсатора переходит в максимальную энергию магнитного поля катушки: $W_{m} = W_{e} = \frac{CU_{max}^2}{2} = \frac{10^{-10} \cdot 120^2}{2} = \frac{10^{-10} \cdot 14400}{2} = 7200 \cdot 10^{-10} = 7,2 \cdot 10^{-7}\text{ Дж} = 0,72\text{ мкДж}$. 4. Зависимость силы тока от времени $i(t)$. Так как в начальный момент времени ($t=0$) заряд на конденсаторе максимален, а ток равен нулю, то заряд изменяется по закону косинуса, а сила тока — по закону синуса (с учётом направления): $i(t) = -I_{max} \sin(\omega_0 t)$. Найдем амплитуду силы тока $I_{max}$ из равенства энергий $\frac{LI_{max}^2}{2} = W_m$: $I_{max} = \sqrt{\frac{2W_m}{L}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 7,2 \cdot 10^{-7}}{0,05}} = \sqrt{\frac{14,4 \cdot 10^{-7}}{0,05}} = \sqrt{288 \cdot 10^{-7}} = \sqrt{2,88 \cdot 10^{-5}} \approx 5,37 \cdot 10^{-3}\text{ А} = 5,37\text{ мА}$. Уравнение зависимости: $i(t) = -5,37 \cdot 10^{-3} \sin(4,47 \cdot 10^5 t)$ (А). Ответ: $\omega_0 \approx 4,47 \cdot 10^5\text{ рад/с}$; $W_m = 0,72\text{ мкДж}$; $i(t) = -5,37 \cdot 10^{-3} \sin(4,47 \cdot 10^5 t)$.