1. Вычислить: а) log₂ 1/32 + lg 100 - log₄ 1; б) log₃ 36 + log₃ 1/16 + log₃ 4; 2. Решить уравнение: а) log₀,₁ (x+3) = -1; 3. Решить неравенство: а) log₃ (7 + 4x) < 1

### 1. Вычислить: а) $\log_2 \frac{1}{32} + \lg 100 - \log_4 1 = \log_2 2^{-5} + \lg 10^2 - 0 = -5 + 2 = -3$ б) $\log_3 36 + \log_3 \frac{1}{16} + \log_3 4 = \log_3 \left(36 \cdot \frac{1}{16} \cdot 4\right) = \log_3 \left(\frac{36 \cdot 4}{16}\right) = \log_3 9 = 2$ в) $\log_{81} 27 - \log_{64} \frac{1}{16} = \log_{3^4} 3^3 - \log_{2^6} 2^{-4} = \frac{3}{4} - \left(-\frac{4}{6}\right) = \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9+8}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$ г) $8^{\log_{\frac{1}{2}} 3} = (2^3)^{\log_{2^{-1}} 3} = 2^{-3 \log_2 3} = 2^{\log_2 3^{-3}} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$ ### 2. Решить уравнение: а) $\log_{0,1} (x+3) = -1$ $x + 3 = 0,1^{-1} \Rightarrow x + 3 = 10 \Rightarrow x = 7$ Проверка: $7+3=10 > 0$. **Ответ: 7** б) $\log_3 (7x^2 + 5x - 3) = 2$ $7x^2 + 5x - 3 = 3^2 \Rightarrow 7x^2 + 5x - 12 = 0$ $D = 25 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 25 + 336 = 361 = 19^2$ $x_1 = \frac{-5+19}{14} = 1$; $x_2 = \frac{-5-19}{14} = -\frac{24}{14} = -\frac{12}{7}$ Оба корня подходят под ОДЗ ($7x^2+5x-3 > 0$). **Ответ: 1; -12/7** в) $\log_2 (x-3) - \log_2 (x+4) = 3$ ОДЗ: $x-3 > 0$ и $x+4 > 0 \Rightarrow x > 3$ $\log_2 \frac{x-3}{x+4} = 3 \Rightarrow \frac{x-3}{x+4} = 8 \Rightarrow x-3 = 8x + 32 \Rightarrow 7x = -35 \Rightarrow x = -5$ $x = -5$ не входит в ОДЗ. **Ответ: нет корней** ### 3. Решить неравенство: а) $\log_3 (7 + 4x) < 1$ ОДЗ: $7+4x > 0 \Rightarrow x > -1,75$ $7+4x < 3^1 \Rightarrow 4x < -4 \Rightarrow x < -1$ С учетом ОДЗ: $(-1,75; -1)$. **Ответ: (-1,75; -1)** б) $\log_{\frac{1}{4}} (7-x) < 0$ ОДЗ: $7-x > 0 \Rightarrow x < 7$ Так как основание $1/4 < 1$, знак меняется: $7-x > (1/4)^0 \Rightarrow 7-x > 1 \Rightarrow x < 6$ С учетом ОДЗ: $(-\infty; 6)$. **Ответ: (-∞; 6)** в) $\log_3 (4x^2 - x + 6) \ge 2$ $4x^2 - x + 6 \ge 3^2 \Rightarrow 4x^2 - x - 3 \ge 0$ Корни уравнения $4x^2-x-3=0$: $x_1=1, x_2=-0,75$. Положительная парабола. $x \in (-\infty; -0,75] \cup [1; +\infty)$. ОДЗ $4x^2-x+6 > 0$ выполняется всегда ($D < 0$). **Ответ: (-∞; -0,75] ∪ [1; +∞)**