Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если: а) боковая сторона равна b; б) основание равно a.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и тригонометрическими формулами площади. а) Дано: боковая сторона равна $b$, угол при основании $\alpha$. 1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, два угла равны $\alpha$. 2. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, тогда угол при вершине равен $180^{\circ} - 2\alpha$. 3. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin(180^{\circ} - 2\alpha)$. 4. По формуле приведения $\sin(180^{\circ} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$. **Ответ: $S = \frac{1}{2}b^2 \sin 2\alpha$**. б) Дано: основание равно $a$, угол при основании $\alpha$. 1. Проведём высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике она является медианой, поэтому делит основание пополам: $\frac{a}{2}$. 2. Из прямоугольного треугольника найдём высоту: $h = \frac{a}{2} \cdot \text{tg} \alpha$. 3. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} \text{tg} \alpha = \frac{a^2 \text{tg} \alpha}{4}$. **Ответ: $S = \frac{a^2 \text{tg} \alpha}{4}$**.