На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка E. Прямые AE и BC пересекаются в точке F. Найдите: а) EF и FC, если DE = 8 см, EC = 4 см, BC = 7 см, AE = 10 см; б) DE и EC, если AB = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Рассмотрим подобные треугольники. Так как $AD \parallel CF$ (лежит на прямой $BC$), то $\triangle ADE \sim \triangle FCE$ по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей $AF$, и вертикальные углы при вершине $E$). **а) Найти $EF$ и $FC$, если $DE=8$ см, $EC=4$ см, $BC=7$ см, $AE=10$ см.** 1. Из подобия $\triangle ADE \sim \triangle FCE$ следует отношение сторон: $\frac{EC}{DE} = \frac{EF}{AE} = \frac{FC}{AD}$. 2. Коэффициент подобия $k = \frac{EC}{DE} = \frac{4}{8} = 0,5$. 3. Находим $EF$: $EF = AE \cdot k = 10 \cdot 0,5 = 5$ (см). 4. В параллелограмме $AD = BC = 7$ см. 5. Находим $FC$: $FC = AD \cdot k = 7 \cdot 0,5 = 3,5$ (см). Ответ: $EF = 5$ см, $FC = 3,5$ см. **б) Найти $DE$ и $EC$, если $AB=8$ см, $AD=5$ см, $CF=2$ см.** 1. В параллелограмме $CD = AB = 8$ см. Значит, $DE + EC = 8$. 2. Из подобия $\triangle ADE \sim \triangle FCE$: $\frac{EC}{DE} = \frac{FC}{AD}$. 3. Подставим известные значения: $\frac{EC}{DE} = \frac{2}{5}$, откуда $EC = 0,4 \cdot DE$. 4. Составим уравнение: $DE + 0,4 \cdot DE = 8 \Rightarrow 1,4 \cdot DE = 8$. 5. $DE = 8 : 1,4 = \frac{80}{14} = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$ (см). 6. $EC = 8 - 5\frac{5}{7} = 2\frac{2}{7}$ (см). Ответ: $DE = 5\frac{5}{7}$ см, $EC = 2\frac{2}{7}$ см.