Решите задачи на тему «Скалярное произведение векторов» (9 класс), Вариант А1.

### 1. Скалярное произведение в параллелограмме ABCD Дано: $\angle A = 30^{\circ}$, $AB = 2\sqrt{3}$, $BC = 5$. В параллелограмме $AD = BC = 5$, $CD = AB = 2\sqrt{3}$. а) $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle A) = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ} = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \cdot 3 = 15$ б) $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$. Угол между этими векторами — это $\angle B$. В параллелограмме $\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 150^{\circ}$. $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos 150^{\circ} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -5 \cdot 3 = -15$ в) $\vec{AD} \cdot \vec{BH}$. Пусть $BH$ — высота к стороне $AD$. Вектор $\vec{BH}$ перпендикулярен $\vec{AD}$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно $0$. **Ответ: а) 15; б) -15; в) 0.** ### 2. Скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$ $\vec{m}\{3; -2\}, \vec{n}\{-2; 3\}$ $\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 3 = -6 - 6 = -12$ **Ответ: -12.** ### 3. Косинус угла между векторами $\vec{p}$ и $\vec{q}$ Формула: $\cos \alpha = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$ $\vec{p}\{3; -4\}, \vec{q}\{15; 8\}$ 1. Числитель: $3 \cdot 15 + (-4) \cdot 8 = 45 - 32 = 13$ 2. Знаменатель: $\sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{225 + 64} = 5 \cdot \sqrt{289} = 5 \cdot 17 = 85$ $\cos \alpha = \frac{13}{85}$ **Ответ: 13/85.** ### 4. Перпендикулярность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ Условие перпендикулярности: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ $\vec{a}\{2; -3\}, \vec{b}\{x; -4\}$ $2 \cdot x + (-3) \cdot (-4) = 0$ $2x + 12 = 0$ $2x = -12 \Rightarrow x = -6$ **Ответ: -6.** ### 5. Косинус угла А треугольника ABC Угол A — это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. $A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2)$ 1. Координаты векторов: $\vec{AB}\{0-3; 6-9\} = \vec{AB}\{-3; -3\}$ $\vec{AC}\{4-3; 2-9\} = \vec{AC}\{1; -7\}$ 2. Косинус угла: $\cos A = \frac{(-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7)}{\sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-7)^2}} = \frac{-3 + 21}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{50}} = \frac{18}{\sqrt{900}} = \frac{18}{30} = 0,6$ **Ответ: 0,6.**