найти сторону АС

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ (угол $C = 90^\circ$ по чертежу). 1. В треугольнике $BCD$: $\angle BDC = 60^\circ$, значит, второй острый угол $\angle CBD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ (что также указано на чертеже). 2. По свойству прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, $CD = \frac{1}{2} BD$. Так как $CD = 4$ (по чертежу), то гипотенуза $BD = 4 \cdot 2 = 8$ (что также отмечено на чертеже). 3. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Он также является прямоугольным ($\angle BCA = 90^\circ$, так как $BC$ — высота к прямой $AD$). 4. В треугольнике $ABC$ известен угол $\angle BAC = 30^\circ$ и угол $\angle ABC = 60^\circ$. 5. Используем свойство угла $30^\circ$ для треугольника $ABC$: катет $BC$, лежащий против угла $\angle BAC = 30^\circ$, равен половине гипотенузы $AB$. $BC = \frac{1}{2} AB$. 6. Чтобы найти $AC$, нам сначала нужно найти длину $BC$. В треугольнике $BCD$ по теореме Пифагора (или через определение тангенса для 7 класса, если пройдено, но проще использовать свойства): В треугольнике $BCD$: $\angle CBD = 30^\circ$. Катет $CD=4$. В треугольнике $ABC$: $\angle BAC = 30^\circ$. Заметим, что треугольники $ABC$ и $BCD$ подобны (по двум углам), но в 7 классе мы можем использовать соотношение сторон в прямоугольном треугольнике с углами $30^\circ$ и $60^\circ$: больший катет равен меньшему, умноженному на $\sqrt{3}$. В $\triangle BCD$: $BC = CD \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. В $\triangle ABC$: $AC = BC \cdot \sqrt{3} = (4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$. **Ответ: 12**