1. Найдите величину каждого из двух внутренних односторонних углов, если один из них больше другого в 4 раза.

### Вариант 1 1. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^{\circ}$. Пусть один угол — $x$, тогда другой — $4x$. $x + 4x = 180^{\circ}$ $5x = 180^{\circ}$ $x = 36^{\circ}$ (первый угол) $4 \cdot 36^{\circ} = 144^{\circ}$ (второй угол) **Ответ: $36^{\circ}$ и $144^{\circ}$**. 2. Рассмотрим $\triangle ADK$ и $\triangle CBK$: 1) $\angle AKD = \angle CKB$ (как вертикальные); 2) $\angle KAD = \angle KCB$ (как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $AC$); 3) $\angle KDA = \angle KBC$ (как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$). Так как все углы одного треугольника равны углам другого, утверждение доказано. ### Вариант 2 1. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Пусть каждый из углов равен $x$. $x + x = 72^{\circ}$ $2x = 72^{\circ}$ $x = 36^{\circ}$ **Ответ: $36^{\circ}$ и $36^{\circ}$**. 2. Доказательство $\triangle ABM = \triangle CDM$: 1) $AB = CD$ (по условию); 2) $\angle BAM = \angle DCM$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$); 3) $\angle ABM = \angle CDM$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BD$). Треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). ### Вариант 3 1. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$. Пусть углы равны $x$ и $y$. $\begin{cases} x + y = 180^{\circ} \\ x - y = 72^{\circ} \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 252^{\circ} \Rightarrow x = 126^{\circ}$. Найдем второй угол: $y = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ}$. **Ответ: $126^{\circ}$ и $54^{\circ}$**. 2. Пусть в равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB=BC$) прямая $MN \parallel AC$ пересекает боковые стороны в точках $M$ и $N$. Нужно доказать, что $\triangle MBN$ равнобедренный или углы при его основании равны. 1) $\angle BMN = \angle BAC$ (как соответственные при $MN \parallel AC$ и секущей $AB$); 2) $\angle BNM = \angle BCA$ (как соответственные при $MN \parallel AC$ и секущей $BC$); 3) Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то $\angle BAC = \angle BCA$. Следовательно, $\angle BMN = \angle BNM$, что и требовалось доказать.