Не решая уравнение 2x² - 3x - 11 = 0, найдите x₂/(1 + x₁) + x₁/(1 + x₂), где x₁ и x₂ — его корни.

Question

Вопрос:

Не решая уравнение 2x² - 3x - 11 = 0, найдите x₂/(1 + x₁) + x₁/(1 + x₂), где x₁ и x₂ — его корни.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ справедливы равенства: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ Для нашего уравнения $2x^2 - 3x - 11 = 0$: $x_1 + x_2 = \frac{3}{2} = 1,5$ $x_1 \cdot x_2 = -\frac{11}{2} = -5,5$ Преобразуем искомое выражение, приведя дроби к общему знаменателю: $\frac{x_2}{1 + x_1} + \frac{x_1}{1 + x_2} = \frac{x_2(1 + x_2) + x_1(1 + x_1)}{(1 + x_1)(1 + x_2)} = \frac{x_2 + x_2^2 + x_1 + x_1^2}{1 + x_2 + x_1 + x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2) + (x_1^2 + x_2^2)}{1 + (x_1 + x_2) + x_1x_2}$ Выразим сумму квадратов через сумму и произведение корней: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 1,5^2 - 2 \cdot (-5,5) = 2,25 + 11 = 13,25$ Подставим все значения в преобразованное выражение: $\frac{1,5 + 13,25}{1 + 1,5 + (-5,5)} = \frac{14,75}{2,5 - 5,5} = \frac{14,75}{-3} = -\frac{1475}{300} = -\frac{59}{12} = -4\frac{11}{12}$ **Ответ: $-4\frac{11}{12}$**

Не решая уравнение 2x² - 3x - 11 = 0, найдите x₂/(1 + x₁) + x₁/(1 + x₂), где x₁ и x₂ — его корни.

Ответ ассистента

Другие решения