В треугольнике MNK на стороне MK отметили произвольную точку P. В треугольнике MNP провели биссектрису PT. В треугольнике NKP построили высоту PQ. Угол TPQ равен 90°, PK = 13. Найди NP.

1. Рассмотрим треугольник $MNP$. По условию $PT$ — биссектриса угла $MPN$. 2. Рассмотрим треугольник $NKP$. По условию $PQ$ — высота, значит $PQ \perp NK$, и $\angle PQN = 90^{\circ}$. 3. Нам дан угол $\angle TPQ = 90^{\circ}$. Заметим, что точки $M, P, K$ образуют треугольник $MNK$, а точка $P$ лежит на стороне $MK$. Это означает, что углы $\angle MPN$ и $\angle NPK$ являются смежными (их сумма $180^{\circ}$), так как они лежат на одной прямой $MK$ с общей вершиной $P$ и общим лучом $PN$. 4. Биссектриса $PT$ делит угол $\angle MPN$ пополам: $\angle TPN = \frac{1}{2} \angle MPN$. 5. Так как $\angle TPQ = 90^{\circ}$, а $\angle TPQ = \angle TPN + \angle NPQ$, то $\angle NPQ = 90^{\circ} - \angle TPN$. 6. В прямоугольном треугольнике $PQK$ (где $\angle P Q K = 90^{\circ}$ так как $PQ$ — высота), угол $\angle QPK = 90^{\circ} - \angle PKQ$. 7. Исходя из свойств биссектрис смежных углов: угол между биссектрисами смежных углов всегда равен $90^{\circ}$. Если $\angle TPQ = 90^{\circ}$ и $PT$ — биссектриса $\angle MPN$, то $PQ$ должна быть биссектрисой $\angle NPK$. 8. В треугольнике $NPK$ отрезок $PQ$ является одновременно и высотой (по условию), и биссектрисой (как доказано выше). 9. Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник является равнобедренным, где стороны, прилежащие к этой вершине, равны: $NP = PK$. 10. Так как $PK = 13$, то $NP = 13$. **Ответ: 13**