Высота BD прямоугольного треугольника ABC равна 24 см и отсекает от гипотенузы AC отрезок DC, равный 18 см. Найдите AB и cos A.

Фотография

Ответ ассистента

1. Из прямоугольного $\triangle BDC$ ($\angle D = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$ см. В прямоугольном $\triangle ABC$ высота $BD^2 = AD \cdot DC \Rightarrow AD = \frac{BD^2}{DC} = \frac{24^2}{18} = \frac{576}{18} = 32$ см. $AC = AD + DC = 32 + 18 = 50$ см. Из $\triangle ABD$ ($\angle D = 90^\circ$): $AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{32^2 + 24^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40$ см. $\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{40}{50} = 0,8$. **Ответ: 40 см; 0,8.** 2. В прямоугольнике $ABCD$ из $\triangle ACD$ ($\angle D = 90^\circ$): $CD = AC \cdot \sin 37^\circ = 3 \cdot \sin 37^\circ$ см. $AD = AC \cdot \cos 37^\circ = 3 \cdot \cos 37^\circ$ см. $S_{ABCD} = AD \cdot CD = 3 \cos 37^\circ \cdot 3 \sin 37^\circ = 4,5 \cdot \sin 74^\circ \approx 4,5 \cdot 0,9613 \approx 4,33$ см$^2$. **Ответ: 4,5 \sin 74^\circ \text{ см}^2 \approx 4,33 \text{ см}^2$.** 3. Пусть $AD = 10$ см, $BC = 8$ см. Высота $CH \perp AD$. В равнобедренной трапеции $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1$ см. $AH = AD - HD = 10 - 1 = 9$ см. В прямоугольном $\triangle ACD$ ($AC \perp CD$) высота $CH^2 = AH \cdot HD = 9 \cdot 1 = 9 \Rightarrow CH = 3$ см. $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{10 + 8}{2} \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$ см$^2$. **Ответ: 27 см$^2$.** 4. В $\triangle ABC$ ($AB=AC$) проведем высоты $AM \perp BC$ и $BN \perp AC$. Из $\triangle ABM$: $AM = AB \cdot \sin \alpha$. Из $\triangle ABN$ ($\angle A = 180^\circ - 2\alpha$): $BN = AB \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha) = AB \cdot \sin 2\alpha$. $\frac{BN}{AM} = \frac{AB \cdot \sin 2\alpha}{AB \cdot \sin \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} = 2 \cos \alpha$. **Ответ: 2 \cos \alpha.**

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Высота BD прямоугольного треугольника ABC равна 24 см и отсекает от гипотенузы AC отрезок DC, равный 18 см. Найдите AB и cos A.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения