В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°.

На изображении представлены две задачи. Решим каждую по очереди. **Задача 1** В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CE$. Найдите величину угла $BCE$, если $\angle BAC = 46^{\circ}$ и $\angle ABC = 78^{\circ}$. 1. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Найдём угол $C$ (он же $\angle ACB$) в треугольнике $ABC$: $\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^{\circ} - (46^{\circ} + 78^{\circ}) = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$. 2. Так как $CE$ — биссектриса угла $C$, она делит этот угол пополам: $\angle BCE = \angle ACB : 2 = 56^{\circ} : 2 = 28^{\circ}$. **Ответ: 28.** *** **Задача 2** В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отметили произвольную точку $M$. В треугольнике $ABM$ провели биссектрису $MK$. В треугольнике $CBM$ построили высоту $MP$. Угол $KMP$ равен $90^{\circ}$, $CM = 12$. Найдите $BM$. 1. Рассмотрим развёрнутый угол $AMC$. Точка $M$ лежит на стороне $AC$, значит $\angle AMB + \angle BMC = 180^{\circ}$. 2. $MK$ — биссектриса $\angle AMB$, значит $\angle KMB = \frac{1}{2} \angle AMB$. 3. По условию $\angle KMP = 90^{\circ}$. Заметим, что $\angle KMP = \angle KMB + \angle BMP$. Тогда $\angle BMP = 90^{\circ} - \angle KMB = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle AMB$. 4. Выразим $\angle BMC$ через смежный угол: $\angle BMC = 180^{\circ} - \angle AMB$. Поделим на 2: $\frac{1}{2} \angle BMC = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle AMB$. 5. Сравнивая пункты 3 и 4, видим, что $\angle BMP = \frac{1}{2} \angle BMC$. Это означает, что высота $MP$ в треугольнике $CBM$ также является его биссектрисой. 6. Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник ($CBM$) является равнобедренным с основанием $CB$. Следовательно, боковые стороны равны: $BM = CM$. 7. Так как по условию $CM = 12$, то $BM = 12$. **Ответ: 12.**