21. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении по платформе со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

21. Чтобы найти длину поезда, нужно скорость поезда относительно пешехода умножить на время. 1) Найдём относительную скорость (так как они движутся в одном направлении): $v_{отн} = 141 - 6 = 135$ км/ч. 2) Переведём скорость в м/с: $135 \text{ км/ч} = \frac{135 \cdot 1000}{3600} = 37,5$ м/с. 3) Найдём длину поезда: $L = 37,5 \cdot 12 = 450$ м. **Ответ: 450**. 22. Постройте график функции $y = x|x| - |x| - 6x$. Раскроем модули: Если $x \ge 0$, то $y = x^2 - x - 6x = x^2 - 7x$. Если $x < 0$, то $y = -x^2 + x - 6x = -x^2 - 5x$. :::div .chart-container @chart-1::: Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки в вершинах парабол. Координата $y$ вершины для $x \ge 0$: $x_0 = \frac{7}{2} = 3,5$; $y_0 = 3,5^2 - 7 \cdot 3,5 = -12,25$. Координата $y$ вершины для $x < 0$: $x_0 = \frac{5}{-2} = -2,5$; $y_0 = -(-2,5)^2 - 5 \cdot (-2,5) = -6,25 + 12,5 = 6,25$. **Ответ: m = -12,25; m = 6,25**. 23. В прямоугольном треугольнике катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. $AB^2 = AC \cdot AH$ $AB^2 = 24 \cdot 6 = 144$ $AB = \sqrt{144} = 12$ **Ответ: 12**. 24. **Доказательство:** 1) Так как $ABCD$ вписанный, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$. Тогда смежный $\angle MDA = 180^\circ - \angle ADC = \angle ABC$. 2) $\angle M$ — общий для $\triangle MBC$ и $\triangle MDA$. 3) Треугольники подобны по двум углам ($\angle M$ — общий, $\angle MBC = \angle MDA$). 25. Площадь трапеции равна площади треугольника со сторонами, равными диагоналям и сумме оснований. 1) Сумма оснований $a + b = 2 \cdot \text{средняя линия} = 2 \cdot 5 = 10$. 2) Рассмотрим треугольник со сторонами 8, 6 и 10. Заметим, что $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$. Значит, по теореме Пифагора, этот треугольник прямоугольный. 3) Площадь такого треугольника (и трапеции): $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$. **Ответ: 24**.