Question

Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 30. Вычисли, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных.

Accepted Answer

1. Запишем условие задачи через первый член $a_1$ и разность $d$:
$3a_2 + a_4 = 30$
$3(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 30$
$3a_1 + 3d + a_1 + 3d = 30$
$4a_1 + 6d = 30$
$2a_1 + 3d = 15$
$2a_1 = 15 - 3d$
$a_1 = 7,5 - 1,5d$

2. Составим функцию произведения 3-го и 5-го членов:
$f(d) = a_3 \cdot a_5 = (a_1 + 2d)(a_1 + 4d)$
Подставим выражение для $a_1$:
$f(d) = (7,5 - 1,5d + 2d)(7,5 - 1,5d + 4d) = (7,5 + 0,5d)(7,5 + 2,5d)$
$f(d) = 56,25 + 18,75d + 3,75d + 1,25d^2 = 56,25 + 22,5d + 1,25d^2$

3. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Минимальное значение достигается в вершине:
$d_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{22,5}{2 \cdot 1,25} = -\frac{22,5}{2,5} = -9$

Ответ:
разность прогрессии: $d = -9$

В решении задания использовались формулы:
1. $a_1 = 7,5 - 1,5d$
2. $f(d) = 56,25 + 22,5d + 1,25d^2$

Ответ ассистента

Другие решения