На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

1. Пусть гипотенуза равна $c$, а катеты $a$ и $b$. Если острый угол $\alpha = 30^{\circ}$, то катет напротив него $a = \frac{c}{2}$. Второй катет $b = c \cdot \cos 30^{\circ} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$. Площадь $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{c^2\sqrt{3}}{8}$. По условию $S = 2\sqrt{3}$, значит $\frac{c^2\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3} \Rightarrow c^2 = 16 \Rightarrow c = 4$. **Ответ: 4**. 2. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы $AB$. По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$. $R = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$. **Ответ: 6,5**. 3. По теореме Пифагора гипотенуза $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. $c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$. **Ответ: 17**. 4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 13 = 7 \cdot 13 = 91$. **Ответ: 91**. 5. (Задание на клетчатой бумаге): По рисунку катеты равны 3 и 4 клетки. Гипотенуза $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ клеток. Медиана, проведённая к гипотенузе из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. $m = \frac{5}{2} = 2,5$. **Ответ: 2,5**.