Задание 124. Какой треугольник не существует? Отметьте его знаком «-» в рамке около номера задания. Ответ обоснуйте.

**Задание 124** Для решения воспользуемся неравенством треугольника: каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других его сторон ($a < b + c$). Если хотя бы для одной стороны это не выполняется, треугольник не существует. 1. $24 < 12 + 18 \Rightarrow 24 < 30$ (верно). Существует. 2. $52 < 22 + 18 \Rightarrow 52 < 40$ (неверно). **Не существует (-)**. 3. Прямоугольный треугольник ($∠C = 90^{\circ}$), гипотенуза $AB$ должна быть самой длинной стороной. $20 > 16$ и $20 > 12$ (верно). Также $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$ (верно по теореме Пифагора). Существует. 4. Прямоугольный треугольник ($∠C = 90^{\circ}$), гипотенуза $AB = 5$. Но катет $BC = 12$. Гипотенуза не может быть меньше катета ($5 < 12$). **Не существует (-)**. 5. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. $∠A = 25^{\circ}$, значит, сторона $BC$ должна быть меньше других сторон, если другие углы больше. Но проверим неравенство сторон: любая третья сторона должна быть меньше суммы двух других. Здесь недостаточно данных о стороне $BC$, но если предположить стандартное неравенство для имеющихся данных $14 < 8 + BC$, то при малых $BC$ треугольник может не срастись. Однако, по имеющимся $AB=14, AC=8$ и углу между ними, такой треугольник всегда можно построить. Существует. 6. Прямоугольный треугольник ($∠C = 90^{\circ}$). Катеты $AC = 10, BC = 10$. Это равнобедренный прямоугольный треугольник. Существует. **Задание 125** **Доказательство:** На рисунке синяя и чёрные стрелки образуют **прямоугольный** треугольник. Синяя стрелка представляет собой **гипотенузу**. Так как, по теореме, каждая сторона треугольника **меньше** суммы двух других **сторон**, то гипотенуза треугольника **меньше** суммы **катетов**. Поэтому путь по синей стрелке **короче** пути по чёрной. **Раздел &3. Основные сведения** В прямоугольном треугольнике: 1) сумма острых углов равна $90^{\circ}$; 2) катет **меньше** гипотенузы; 3) катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен **половине** гипотенузы; 4) если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^{\circ}$. **Задание 126** а) Неверно. В треугольнике может быть только один прямой угол, иначе сумма углов превысит $180^{\circ}$. б) Верно. Это определение прямоугольного треугольника. **Ответ:** б).