Question

Отрезки двух прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны 51 см и 53 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся как 6:7. Определить расстояние между данными плоскостями.

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся свойством прямоугольных треугольников, образованных отрезками прямых, их проекциями и перпендикуляром (расстоянием) между параллельными плоскостями.

Пусть $h$ — расстояние между плоскостями, $d_1 = 51$ см и $d_2 = 53$ см — длины отрезков, а $p_1$ и $p_2$ — их проекции на одну из плоскостей. По условию проекции относятся как $6:7$, значит, можно ввести коэффициент пропорциональности $x$: $p_1 = 6x$, $p_2 = 7x$.

По теореме Пифагора для каждого отрезка:
1) $h^2 = d_1^2 - p_1^2 = 51^2 - (6x)^2 = 2601 - 36x^2$
2) $h^2 = d_2^2 - p_2^2 = 53^2 - (7x)^2 = 2809 - 49x^2$

Приравняем правые части уравнений:
$2601 - 36x^2 = 2809 - 49x^2$
$49x^2 - 36x^2 = 2809 - 2601$
$13x^2 = 208$
$x^2 = 208 : 13$
$x^2 = 16$
$x = 4$

Найдем проекции:
$p_1 = 6 \cdot 4 = 24$ см
$p_2 = 7 \cdot 4 = 28$ см

Теперь найдем расстояние $h$:
$h^2 = 51^2 - 24^2 = 2601 - 576 = 2025$
$h = \sqrt{2025} = 45$ см

Ответ: 45 см.

Ответ ассистента

Другие решения