20. Решите систему уравнений. 21. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. 22. Постройте график функции. 23. Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей. 24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты. 25. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту.

20. Решите систему уравнений: $\begin{cases} 3x^2 - 2x = y \\ 3x - 2 = y \end{cases}$ Приравняем правые части уравнений: $3x^2 - 2x = 3x - 2$ $3x^2 - 5x + 2 = 0$ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$ $x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1$; $x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}$ Найдем $y$: $y_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ $y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 0$ **Ответ: (1; 1), (2/3; 0)** 21. Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда $(x - 20)$ км/ч — скорость второго. Составим уравнение по времени: $\frac{240}{x - 20} - \frac{240}{x} = 1$ $240x - 240(x - 20) = x(x - 20)$ $240x - 240x + 4800 = x^2 - 20x$ $x^2 - 20x - 4800 = 0$ $D = 400 + 19200 = 19600 = 140^2$ $x = \frac{20 + 140}{2} = 80$ (км/ч). Скорость не может быть отрицательной. **Ответ: 80 км/ч** 22. Упростим функцию: $y = \frac{(x^2 + 2,25)(x - 1)}{1 - x} = \frac{(x^2 + 2,25)(x - 1)}{-(x - 1)} = -(x^2 + 2,25) = -x^2 - 2,25$ при $x \neq 1$. График — парабола с выколотой точкой $(1; -3,25)$. Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Ровно одна общая точка будет, если: 1) Прямая касается параболы: $-x^2 - 2,25 = kx \Rightarrow x^2 + kx + 2,25 = 0$. $D = k^2 - 4 \cdot 2,25 = k^2 - 9 = 0 \Rightarrow k = \pm 3$. 2) Прямая проходит через выколотую точку $(1; -3,25)$: $-3,25 = k \cdot 1 \Rightarrow k = -3,25$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ: k = -3,25; k = -3; k = 3** 23. В трапеции $MNKP$ ($MP \parallel NK$) треугольники $AOB$ и $MON$ подобны (где $O$ — точка пересечения диагоналей). Но так как линия проходит через точку пересечения диагоналей и параллельна основаниям, то по свойству трапеции отрезок $AB = \frac{2 \cdot MP \cdot NK}{MP + NK}$. $AB = \frac{2 \cdot 40 \cdot 24}{40 + 24} = \frac{1920}{64} = 30$ (см). **Ответ: 30 см** 24. Доказательство: Рассмотрим $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$. Они прямоугольные (так как $AA_1$ и $CC_1$ — высоты) и имеют общую гипотенузу $AC$. Точки $A_1$ и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $AC$. Углы $\angle CC_1A_1$ и $\angle CAA_1$ опираются на одну и ту же дугу $C_1A_1$. Следовательно, $\angle CC_1A_1 = \angle CAA_1$. Что и требовалось доказать. 25. Пусть $H$ — основание высоты из $B$. Биссектриса $AL$ делит высоту $BH$ в отношении $BK:KH = 13:12$. По свойству биссектрисы в $\triangle ABH$: $AB/AH = BK/KH = 13/12$. Пусть $AB = 13x$, $AH = 12x$. По теореме Пифагора $BH = \sqrt{(13x)^2 - (12x)^2} = 5x$. В прямоугольном $\triangle ABH$: $\cos A = AH/AB = 12/13$, тогда $\sin A = \sqrt{1 - (12/13)^2} = 5/13$. По теореме синусов для $\triangle ABC$: $R = \frac{BC}{2 \sin A} = \frac{10}{2 \cdot (5/13)} = \frac{10 \cdot 13}{10} = 13$. **Ответ: 13**