593 Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 2/3; б) sin α и tg α, если cos α = 1/2; в) cos α и tg α, если sin α = 1/4; г) cos α и tg α, если sin α = √3/2

Для решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулой $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. а) Дано: $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. Найти: $\sin \alpha, \text{tg } \alpha$. $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} : \frac{2}{3} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ б) Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. Найти: $\sin \alpha, \text{tg } \alpha$. $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\text{tg } \alpha = \frac{\pm\sqrt{3}/2}{1/2} = \pm \sqrt{3}$ в) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{4}$. Найти: $\cos \alpha, \text{tg } \alpha$. $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ $\text{tg } \alpha = \frac{1/4}{\pm\sqrt{15}/4} = \pm \frac{1}{\sqrt{15}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{15}$ г) Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найти: $\cos \alpha, \text{tg } \alpha$. $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{2}$ $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{\pm 1/2} = \pm \sqrt{3}$