Высота цилиндра на 2 см больше радиуса его основания. Площадь осевого сечения цилиндра 96 см². Вычислите длину: а) радиуса основания цилиндра; б) высоты цилиндра.

### Задача 1 Дано: $h = r + 2$ (высота на 2 см больше радиуса) $S_{сеч} = 96 \text{ см}^2$ Найти: а) $r$; б) $h$. Решение: Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h$ (высота). $S_{сеч} = 2r \cdot h$ Подставим выражение для высоты: $2r \cdot (r + 2) = 96$ $2r^2 + 4r - 96 = 0$ Разделим на 2: $r^2 + 2r - 48 = 0$ По теореме Виета: $r_1 = 6$, $r_2 = -8$ (не подходит, так как радиус $> 0$). а) Радиус $r = 6$ см. б) Высота $h = 6 + 2 = 8$ см. **Ответ: а) 6 см; б) 8 см.** --- ### Задача 2 Дано: $S_{сеч} = 72 \text{ дм}^2$ $d = 4$ дм (расстояние от оси до плоскости сечения) $h = 12$ дм Найти: $S_{осн}$. Решение: 1. Сечение, параллельное оси — прямоугольник со сторонами $a$ (хорда основания) и $h$ (высота). $S_{сеч} = a \cdot h \Rightarrow 72 = a \cdot 12 \Rightarrow a = 6$ дм (длина хорды). 2. Рассмотрим основание цилиндра (круг). Расстояние от центра до хорды $d = 4$ дм является катетом прямоугольного треугольника, где второй катет — половина хорды $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ дм, а гипотенуза — радиус $r$. По теореме Пифагора: $r^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow r = 5$ дм. 3. Площадь основания: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ дм}^2$. **Ответ: 25π дм².**