1. Медиана равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника. 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=2, sin A = 0,4. Найдите AB. 3. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 120°. Длина меньшей дуги AB равна 67. Найдите длину большей дуги. 4. К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 21, AO = 75.

Question

Вопрос:

1. Медиана равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника. 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=2, sin A = 0,4. Найдите AB. 3. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 120°. Длина меньшей дуги AB равна 67. Найдите длину большей дуги. 4. К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 21, AO = 75.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают. Формула высоты (медианы) $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона треугольника. $12\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 12 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 24$. **Ответ: 24**. 2. В прямоугольном треугольнике $\sin A = \frac{BC}{AB}$. $0,4 = \frac{2}{AB} \Rightarrow AB = \frac{2}{0,4} = 5$. **Ответ: 5**. 3. Вся окружность составляет $360^{\circ}$. Меньшая дуга $AB$ соответствует центральному углу $\angle AOB = 120^{\circ}$. Градусная мера большей дуги: $360^{\circ} - 120^{\circ} = 240^{\circ}$. Так как $240^{\circ}$ в два раза больше $120^{\circ}$ ($240 : 120 = 2$), то и длина большей дуги будет в два раза больше: $67 \cdot 2 = 134$. **Ответ: 134**. 4. Касательная $AB$ перпендикулярна радиусу $OB$, проведенному в точку касания. Значит, $\triangle ABO$ — прямоугольный с гипотенузой $AO = 75$ и катетом $AB = 21$. Радиус $R = OB$ найдем по теореме Пифагора: $OB^2 = AO^2 - AB^2 = 75^2 - 21^2 = (75 - 21)(75 + 21) = 54 \cdot 96 = 5184$. $OB = \sqrt{5184} = 72$. **Ответ: 72**.

Ответ ассистента

Другие решения