В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Так как $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$, то треугольник $CDE$ подобен треугольнику $CAB$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Следовательно, $S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} = 4 \cdot 24 = 96$. **Ответ: 96** 2. Проведём высоту параллелограмма $h$ к стороне $AB$. Площадь параллелограмма $S_{ABCD} = AB \cdot h = 70$. Площадь треугольника $AED$, где $E$ — середина $AB$ ($AE = \frac{1}{2}AB$), равна $S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AB \cdot h = \frac{1}{4} S_{ABCD}$. Тогда $S_{AED} = \frac{70}{4} = 17,5$. Площадь трапеции $EBCD$ равна разности площадей параллелограмма и треугольника: $S_{EBCD} = S_{ABCD} - S_{AED} = 70 - 17,5 = 52,5$. **Ответ: 52,5** 3. В равнобедренной трапеции высота $h$, опущенная из вершины верхнего основания на нижнее, отсекает отрезок, равный полуразности оснований: $x = \frac{8 - 2}{2} = 3$. В прямоугольном треугольнике с углом $45^{\circ}$ катеты равны, значит, высота $h = x = 3$. Площадь трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{2 + 8}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$. **Ответ: 15**

В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ ассистента

Другие решения