Серёжа задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 22, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Серёжа? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пусть задуманные натуральные числа равны $x$ и $y$, причём $x \ge y$. По условию: 1. Сумма чисел: $x + y = 22$. 2. Разность чисел: $10 < x - y < 14$. Так как числа натуральные, их разность $x - y$ может быть равна только $11$, $12$ или $13$. Также заметим, что сумма $(x + y)$ и разность $(x - y)$ всегда имеют одинаковую чётность, так как $(x + y) - (x - y) = 2y$ (чётное число). Поскольку сумма $22$ — чётная, разность тоже должна быть чётной. Единственное чётное число в интервале от $10$ до $14$ — это $12$. Составим систему уравнений: $\begin{cases} x + y = 22 \\ x - y = 12 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 34 \Rightarrow x = 17$. Вычтем уравнения: $2y = 10 \Rightarrow y = 5$. Докажем, что других вариантов нет: - Если $x - y = 11$, то $2x = 33$, $x = 16,5$ (не натуральное). - Если $x - y = 13$, то $2x = 35$, $x = 17,5$ (не натуральное). **Ответ: 17 и 5.**