Найдите значение выражения: а) sin²60 - cos²45; б) 3tg²30 + 4tg45 + cos30 * ctg30. Найдите cos α, tg α и ctg α, если sin α = 4/5.

№ 1. Найдите значение выражения: а) $\sin^2 60^\circ - \cos^2 45^\circ$ Используем табличные значения: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} = 0,25$ **Ответ:** 0,25. б) $3\operatorname{tg}^2 30^\circ + 4\operatorname{tg} 45^\circ + \cos 30^\circ \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ$ Используем табличные значения: $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$. $3 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 4 \cdot 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot \frac{3}{9} + 4 + \frac{3}{2} = 1 + 4 + 1,5 = 6,5$ **Ответ:** 6,5. № 2. Найдите $\cos \alpha$, $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. **Допущение:** угол $\alpha$ является острым (лежит в первой четверти), так как это стандартное условие для задач 8 класса. 1. Найдём $\cos \alpha$ через основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ $\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} = 0,6$ 2. Найдём $\operatorname{tg} \alpha$: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4}{5} : \frac{3}{5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ 3. Найдём $\operatorname{ctg} \alpha$: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{3}{4} = 0,75$ **Ответ:** $\cos \alpha = 0,6$; $\operatorname{tg} \alpha = 1\frac{1}{3}$; $\operatorname{ctg} \alpha = 0,75$.