Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 25^x - (a-4)*5^x - 2a^2 + 10a - 12 = 0 не имеет действительных корней. Входит ли а = 2 в ответ?

Question

Вопрос:

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 25^x - (a-4)*5^x - 2a^2 + 10a - 12 = 0 не имеет действительных корней. Входит ли а = 2 в ответ?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Ответ: Да **Решение:** 1. Сделаем замену переменной: пусть $t = 5^x$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид квадратного относительно $t$: $t^2 - (a - 4)t - 2a^2 + 10a - 12 = 0$ 2. Исходное уравнение не имеет действительных корней в двух случаях: - Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля ($D < 0$). - Дискриминант больше или равен нулю, но все полученные корни $t$ меньше или равны нулю ($t ≤ 0$). 3. Проверим значение $a = 2$, подставив его в квадратное уравнение: $t^2 - (2 - 4)t - 2(2)^2 + 10(2) - 12 = 0$ $t^2 + 2t - 8 + 20 - 12 = 0$ $t^2 + 2t = 0$ $t(t + 2) = 0$ Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -2$. 4. Возвращаемся к замене: $5^x = 0$ (корней нет) и $5^x = -2$ (корней нет). Так как при $a = 2$ ни один из корней не удовлетворяет условию $t > 0$, исходное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, $a = 2$ входит в ответ.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 25^x - (a-4)*5^x - 2a^2 + 10a - 12 = 0 не имеет действительных корней. Входит ли а = 2 в ответ?

Ответ ассистента

Другие решения