490 Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

**а) Ответ: боковая сторона — 10 см, площадь — 48 см².** 1. В равнобедренном треугольнике высота $h$, проведённая к основанию $a$, является медианой. Она делит основание пополам: $12 : 2 = 6$ (см). 2. По теореме Пифагора найдём боковую сторону $c$: $c = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ (см). 3. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ (см²). **б) Ответ: боковая сторона — $6\sqrt{3}$ см (≈ 10,4 см), площадь — $27\sqrt{3}$ см² (≈ 46,8 см²).** 1. Высота $h$ делит угол при вершине пополам: $120^\circ : 2 = 60^\circ$. Тогда угол при основании равен $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 2. Из прямоугольного треугольника: $\cos 30^\circ = \frac{a/2}{c} \Rightarrow c = \frac{9}{\cos 30^\circ} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ (см). 3. Высота $h = (a/2) \cdot \tan 30^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ (см). 4. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ (см²). **в) Ответ: боковая сторона — $7\sqrt{2}$ см (≈ 9,9 см), площадь — 49 см².** 1. В прямоугольном равнобедренном треугольнике углы при основании (гипотенузе) равны $45^\circ$. 2. Высота к гипотенузе является медианой, значит гипотенуза $a = 2 \cdot h = 2 \cdot 7 = 14$ (см). 3. Боковая сторона (катет) $c = \frac{h}{\sin 45^\circ} = \frac{7}{\sqrt{2}/2} = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2}$ (см). 4. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49$ (см²).