15 января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,3 млн рублей?

Ответ: 1 млн рублей **Решение:** Пусть $S$ — сумма кредита, $n = 14$ — количество месяцев, $r = 4\% = 0,04$ — процентная ставка. Так как долг должен уменьшаться равномерно (на одну и ту же сумму каждый месяц), то остаток долга на 15-е число каждого месяца составляет: $S, \frac{13}{14}S, \frac{12}{14}S, ..., \frac{1}{14}S, 0$. Общая сумма выплат ($P$) состоит из самой суммы кредита ($S$) и суммы всех начисленных процентов ($I$): $P = S + I$ Проценты начисляются каждый месяц на остаток долга: $I = S \cdot r + \frac{13}{14}S \cdot r + \frac{12}{14}S \cdot r + ... + \frac{1}{14}S \cdot r$ Вынесем общие множители за скобки: $I = S \cdot r \cdot (1 + \frac{13}{14} + \frac{12}{14} + ... + \frac{1}{14})$ В скобках — сумма арифметической прогрессии: $1 + \frac{13}{14} + ... + \frac{1}{14} = \frac{1 + \frac{1}{14}}{2} \cdot 14 = \frac{15}{28} \cdot 14 = \frac{15}{2} = 7,5$ Тогда переплата составит: $I = S \cdot 0,04 \cdot 7,5 = S \cdot 0,3$ Общая сумма выплат: $P = S + 0,3S = 1,3S$ По условию $P = 1,3$ млн рублей: $1,3S = 1,3$ $S = 1$ млн рублей.