№1 В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) n=3, a=10 см, h=15 см; б) n=4, a=12 дм, h=8 дм; №2 Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

### №1 **Ответ: а) $S_{\text{бок}} = 450\text{ см}^2, S_{\text{полн}} = 50(9 + \sqrt{3})\text{ см}^2$; б) $S_{\text{бок}} = 384\text{ дм}^2, S_{\text{полн}} = 672\text{ дм}^2$.** **Решение:** Формулы для правильной $n$-угольной призмы: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = n \cdot a \cdot h$ $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}}$ $S_{\text{осн}} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \text{tg}(\frac{180^\circ}{n})}$ а) $n=3, a=10\text{ см}, h=15\text{ см}$ (правильная треугольная призма): 1. $S_{\text{бок}} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450 \text{ (см}^2)$. 2. $S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ (см}^2)$. 3. $S_{\text{полн}} = 450 + 2 \cdot 25\sqrt{3} = 450 + 50\sqrt{3} = 50(9 + \sqrt{3}) \text{ (см}^2)$. б) $n=4, a=12\text{ дм}, h=8\text{ дм}$ (правильная четырехугольная призма — параллелепипед): 1. $S_{\text{бок}} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384 \text{ (дм}^2)$. 2. $S_{\text{осн}} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ (дм}^2)$. 3. $S_{\text{полн}} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672 \text{ (дм}^2)$. --- ### №2 **Ответ: $75\text{ см}^2$.** **Решение:** 1. Найдем третью сторону основания ($c$) по теореме косинусов: $c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$ $c^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-0,5) = 34 + 15 = 49$ $c = \sqrt{49} = 7 \text{ (см)}$. 2. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники с одной общей стороной $H$ (высота призмы). Площадь грани равна $a \cdot H$. Наибольшая площадь будет у грани, прилежащей к наибольшей стороне основания ($c=7$ см): $S_{\text{гр.max}} = c \cdot H = 35 \Rightarrow 7 \cdot H = 35 \Rightarrow H = 5 \text{ (см)}$. 3. Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H = (5 + 3 + 7) \cdot 5 = 15 \cdot 5 = 75 \text{ (см}^2)$.