3. В треугольнике ABC AB = BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC — точки P и K соответственно. Известно, что ∠BPM = ∠BMK. Докажите, что а) углы BPM и BKM равны; б) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны. 4. Дан угол в 54°. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить угол в 18°?

**3. Решение:** a) Докажем, что $\triangle BPM = \triangle BKM$: 1. $BM$ — общая сторона. 2. Т.к. $ABC$ — равнобедренный ($AB = BC$) и $BE$ — медиана, то $BE$ также является биссектрисой $\angle ABC$. Значит, $\angle PBM = \angle KBM$. 3. По условию $\angle BPM = \angle BMK$. 4. В треугольниках $BPM$ и $BKM$ суммы углов равны $180^{\circ}$, два угла равны, значит, равны и третьи углы: $\angle BMP = \angle BKM$. 5. По второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла: $BM$, $\angle PBM = \angle KBM$, $\angle BMP = \angle BKM$) $\triangle BPM = \triangle BKM$. 6. Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle BPM = \angle BKM$. Что и требовалось доказать. б) Докажем, что $PK \perp BM$: 1. Из равенства $\triangle BPM = \triangle BKM$ следует, что $BP = BK$. 2. Значит, $\triangle PBK$ — равнобедренный с основанием $PK$. 3. В $\triangle PBK$ луч $BM$ является биссектрисой угла при вершине (т.к. $BE$ — биссектриса $\angle ABC$). 4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и высотой. 5. Следовательно, $BM \perp PK$. Что и требовалось доказать. **4. Ответ: Да.** **Решение:** 1. Любой данный угол можно разделить пополам (построить биссектрису) с помощью циркуля и линейки. 2. Разделим угол $54^{\circ}$ на две равные части: $54^{\circ} : 2 = 27^{\circ}$. 3. Теперь разделим полученный угол $27^{\circ}$ еще раз пополам: $27^{\circ} : 2 = 13,5^{\circ}$ (это не дает $18^{\circ}$, пойдем другим путем). 4. Правильный способ: мы умеем строить угол $60^{\circ}$ (построив равносторонний треугольник). 5. Построив угол $60^{\circ}$ и отняв от него угол $54^{\circ}$, получим угол $6^{\circ}$. 6. Отложив угол $6^{\circ}$ три раза (или отложив от $54^{\circ}$ его треть, если бы умели делить на 3, но трисекцию угла сделать нельзя). 7. Однако, имея угол $54^{\circ}$, мы можем построить угол $108^{\circ}$, а затем смежный к нему $72^{\circ}$. Разделив $72^{\circ}$ пополам дважды ($36^{\circ}$, затем $18^{\circ}$), мы получим искомый угол. **Допущение:** подразумевается стандартный набор геометрических построений.