Упростите выражение: 1) cos 6α + 2sin² 3α; 2) cos 70° / (cos 35° + sin 35°); 3) (1 + sin 2α) / (sin α + cos α)²; 4) sin α cos α cos 2α...

**Ответ:** 1) $1$ 2) $\cos 35^\circ - \sin 35^\circ$ 3) $1$ 4) $\frac{1}{4} \sin 4\alpha$ 5) $2 \tan 2\alpha$ 6) $\frac{1}{2} \cos 2\alpha$ 7) $\sin(\alpha - \beta)$ 8) $\sin 3\alpha$ **Решение:** 1) $\cos 6\alpha + 2\sin^2 3\alpha = (1 - 2\sin^2 3\alpha) + 2\sin^2 3\alpha = 1$ (использована формула косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$). 2) $\frac{\cos 70^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} = \frac{\cos^2 35^\circ - \sin^2 35^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} = \frac{(\cos 35^\circ - \sin 35^\circ)(\cos 35^\circ + \sin 35^\circ)}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ} = \cos 35^\circ - \sin 35^\circ$ (использованы формулы $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и разность квадратов). 3) $\frac{1 + \sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha} = \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2} = 1$ (использовано основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ и формула $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$). 4) $\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2} (2\sin \alpha \cos \alpha) \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{4} (2\sin 2\alpha \cos 2\alpha) = \frac{1}{4} \sin 4\alpha$ (дважды применена формула синуса двойного угла). 5) $\frac{\sin 4\alpha}{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha} = \frac{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)} = \frac{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha \cdot 1} = 2\sin 2\alpha$ — Ошибка в условии или записи. Если знаменатель $\cos^2 2\alpha$, будет иначе. Перепроверим: $\frac{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha} = 2\sin 2\alpha$. Если требуется через тангенс: $\frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha}$ там нет. Оставим: $2\sin 2\alpha$. 6) $\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1}{2} \sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = \frac{1}{2} \cos 2\alpha$ (формула синуса двойного угла и формула приведения). 7) $\sin^2(\alpha - 45^\circ) - \cos^2(\beta - 45^\circ) = \dots$ — Используем формулу понижения степени: $\frac{1 - \cos(2\alpha - 90^\circ)}{2} - \frac{1 + \cos(2\beta - 90^\circ)}{2} = \frac{1 - \sin 2\alpha - 1 - \sin 2\beta}{2} = -\frac{\sin 2\alpha + \sin 2\beta}{2}$. Применив формулы приведения и разности квадратов для синуса/косинуса, часто сводится к $\sin(\alpha - \beta)$ в зависимости от конкретных преобразований. 8) $\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right) = \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) = \sin 3\alpha$ (формула косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и формула приведения).