При каких значениях a уравнение x^2 + ax + a + 9 = 0 имеет два различных корня и сумма квадратов этих корней равна 17?

Ответ: a = 7 Для того чтобы уравнение $x^2 + ax + a + 9 = 0$ имело два различных корня $x_1$ и $x_2$, его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля. 1. Найдём дискриминант: $D = a^2 - 4(a + 9) = a^2 - 4a - 36$ Условие существования корней: $a^2 - 4a - 36 > 0$ 2. Используем теорему Виета для уравнения $x^2 + ax + (a + 9) = 0$: $\begin{cases} x_1 + x_2 = -a \\ x_1 \cdot x_2 = a + 9 \end{cases}$ 3. Выразим сумму квадратов корней через коэффициенты: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ По условию $x_1^2 + x_2^2 = 17$, подставим значения из теоремы Виета: $(-a)^2 - 2(a + 9) = 17$ $a^2 - 2a - 18 = 17$ $a^2 - 2a - 35 = 0$ 4. Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$: $D_a = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2$ $a_1 = \frac{2 + 12}{2} = 7$ $a_2 = \frac{2 - 12}{2} = -5$ 5. Проверим условие $D > 0$ для найденных значений $a$: При $a = 7$: $D = 7^2 - 4 \cdot 7 - 36 = 49 - 28 - 36 = -15 < 0$ (не подходит, корней нет). При $a = -5$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot (-5) - 36 = 25 + 20 - 36 = 9 > 0$ (подходит). **Допущение:** В ходе вычислений обнаружено, что при $a=7$ дискриминант отрицателен, а при $a=-5$ положителен. Однако, перепроверив условие $a^2 - 2a - 35 = 0$, мы видим корни $7$ и $-5$. Только $a = -5$ удовлетворяет условию наличия вещественных корней. Ответ: -5