Вопросы для повторения к главе VIII: Что называется отношением двух отрезков?

1. **Ответ:** Отношением двух отрезков называется отношение их длин. Если длина первого отрезка $a$, а второго — $b$, то их отношение равно $\frac{a}{b}$. 2. **Ответ:** Отрезки $AB$ и $CD$ пропорциональны отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если их отношения равны. Математически это записывается так: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$. 3. **Ответ:** Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. То есть: $\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$ и $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$, где $k$ — коэффициент подобия. 4. **Ответ:** Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. **Теорема:** Если $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом подобия $k$, то $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2$. **Доказательство:** Пусть $\angle A = \angle A_1$. По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу: $\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \cdot \frac{AC}{A_1C_1}$. Так как стороны пропорциональны, то каждое отношение равно $k$. Значит, $\frac{S}{S_1} = k \cdot k = k^2$. 5. **Ответ:** Первый признак подобия треугольников (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. **Теорема:** Если $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. 6. **Ответ:** Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. **Теорема:** Если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ и $\angle A = \angle A_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. 7. **Ответ:** Третий признак подобия треугольников (по трём сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. **Теорема:** Если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.