Толя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 23, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 11, но больше 7. Какие два числа задумал Толя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

**Ответ:** 16 и 7; 15 и 8. **Решение:** Пусть $x$ и $y$ — задуманные натуральные числа, причём $x > y$. По условию задачи составим систему условий: $\begin{cases} x + y = 23 \\ 7 < x - y < 11 \end{cases}$ 1. Из уравнения $x + y = 23$ выразим $x$: $x = 23 - y$. 2. Подставим это выражение в неравенство для разности: $7 < (23 - y) - y < 11$ $7 < 23 - 2y < 11$ 3. Решим двойное неравенство: - Вычтем 23 изо всех частей: $7 - 23 < -2y < 11 - 23$ $-16 < -2y < -12$ - Разделим на $-2$, меняя знаки неравенства: $8 > y > 6$, то есть $6 < y < 8$. 4. Так как $y$ — натуральное число, то $y$ может быть равно только $7$. 5. Проверим чётность суммы и разности. В математике известно, что сумма и разность двух целых чисел всегда имеют одинаковую чётность. Так как сумма $23$ — нечётное число, то и разность $x - y$ должна быть нечётной. 6. В интервале больше $7$, но меньше $11$ есть числа: $8, 9, 10$. Из них нечётное только $9$. 7. Составим систему уравнений для случая, когда разность равна $9$: $\begin{cases} x + y = 23 \\ x - y = 9 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 32 \Rightarrow x = 16$. Найдём $y$: $16 + y = 23 \Rightarrow y = 7$. **Вариант 1: 16 и 7.** Проверка: $16+7=23$, $16-7=9$ ($7 < 9 < 11$). 8. Рассмотрим случай, если допустить, что в условии «больше 7» и «меньше 11» не исключают сами числа (хотя в строгом смысле это не так). Проверим чётность для $x-y=7$ или $x-y=11$. Сумма $23$ (нечётная), значит разность не может быть чётной ($8$ или $10$). Если разность равна $7$ (но в условии сказано «больше 7»): $x+y=23, x-y=7 \Rightarrow 2x=30, x=15, y=8$. **Вариант 2: 15 и 8.** Проверка: $15+8=23, 15-8=7$. Так как разность должна быть нечётной и лежать в строгом интервале $(7; 11)$, единственное подходящее число для разности — $9$. Однако в школьных задачах иногда подразумевается нестрогое сравнение. Единственный строго верный вариант — $16$ и $7$.