Решите показательные уравнения: а) 2^x = 3^x; б) 25^x = 7^{2x}; в) (1/3)^{2x} = 8^x; г) (1/4)^x = (1/5)^x

Ответ: а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. Решение: Все представленные уравнения являются показательными. Основной метод решения здесь — деление обеих частей уравнения на одну из степеней (так как показательная функция всегда больше нуля). а) $2^x = 3^x$ Разделим обе части на $3^x$: $\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$ Любое число в нулевой степени равно $1$, значит: $x = 0$ б) $25^x = 7^{2x}$ Заметим, что $7^{2x} = (7^2)^x = 49^x$. Уравнение примет вид: $25^x = 49^x$ Разделим на $49^x$: $\left(\frac{25}{49}\right)^x = 1$ $x = 0$ в) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} = 8^x$ Упростим левую часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{1}{9}\right)^x$. $\left(\frac{1}{9}\right)^x = 8^x$ Разделим на $8^x$: $\left(\frac{1}{9 \cdot 8}\right)^x = 1$ $\left(\frac{1}{72}\right)^x = 1$ $x = 0$ г) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ Разделим на $\left(\frac{1}{5}\right)^x$: $\left(\frac{1/4}{1/5}\right)^x = 1$ $\left(\frac{5}{4}\right)^x = 1$ $x = 0$