1. Стороны данного треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если его меньшая сторона равна 5 см.

**1.** **Ответ: 5 см, 7,5 см, 10 см.** 1. Пусть стороны первого треугольника $a_1 = 2$ см, $b_1 = 3$ см, $c_1 = 4$ см. Меньшая из них — $a_1 = 2$ см. 2. У подобного треугольника меньшая сторона $a_2 = 5$ см. 3. Найдём коэффициент подобия: $k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{2} = 2,5$. 4. Найдём остальные стороны: $b_2 = b_1 \cdot k = 3 \cdot 2,5 = 7,5$ см; $c_2 = c_1 \cdot k = 4 \cdot 2,5 = 10$ см. **2.** **Ответ: 10.** 1. По свойству биссектрисы угла треугольника: $\frac{MP}{PK} = \frac{MB}{BK}$. В условии, вероятно, опечатка в буквах. Если биссектриса $MB$ проведена к стороне $PK$, то $\frac{MP}{MK} = \frac{PB}{BK}$ (для биссектрисы из угла $M$). 2. Подставим значения: $\frac{6}{MK} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2 \cdot MK = 18 \Rightarrow MK = 9$. **Допущение:** Если биссектриса делит сторону $PK$ на отрезки $PB$ и $BK$, то $PK = PB + BK = 2 + 3 = 5$. Однако, исходя из стандартных задач, ищем сторону через пропорцию. 3. Если $MB$ — биссектриса угла $M$, то $\frac{MP}{MK} = \frac{PB}{BK} \Rightarrow \frac{6}{MK} = \frac{2}{3} \Rightarrow MK = 9$. Если $MK$ — сторона, которую делит биссектриса $PB$ (из угла $P$): $\frac{PM}{PK} = \frac{MB}{BK}$ — не подходит. Наиболее вероятно: $\frac{MP}{MK} = \frac{PB}{BK} \Rightarrow MK = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$. Исправим ответ согласно расчету: **9**. **3.** **Ответ: OA = 15 см, OC = 6 см.** 1. Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам (накрест лежащие при $BC \parallel AD$). 2. Коэффициент подобия $k = \frac{OD}{OB} = \frac{10}{4} = 2,5$. 3. Значит, $\frac{OA}{OC} = 2,5 \Rightarrow OA = 2,5 \cdot OC$. 4. Так как $AC = OA + OC = 21$ см, имеем: $2,5 \cdot OC + OC = 21 \Rightarrow 3,5 \cdot OC = 21 \Rightarrow OC = 6$ см. 5. $OA = 21 - 6 = 15$ см. **4.** **Ответ: 39 см.** 1. Т.к. $AB \parallel KT$, то $\triangle PAB \sim \triangle PTK$ по двум углам (угол $P$ общий, соответственные углы равны). 2. Найдём сторону $PT$: $PT = AP + AT = 36 + 12 = 48$ см. 3. Из подобия: $\frac{AB}{KT} = \frac{AP}{PT}$. 4. $AB = \frac{KT \cdot AP}{PT} = \frac{52 \cdot 36}{48} = \frac{52 \cdot 3}{4} = 13 \cdot 3 = 39$ см.