Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при основании пирамиды — 60°. Найдите объем пирамиды.

Question

Вопрос:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при основании пирамиды — 60°. Найдите объем пирамиды.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Ответ: $9\sqrt{3}$ см$^3$ 1. Найдём площадь основания пирамиды. Основанием является правильный треугольник со стороной $a = 6$ см: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см$^2$ 2. Найдём радиус $r$ вписанной в основание окружности. В правильном треугольнике он равен: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см 3. Двугранный угол при основании — это угол между апофемой боковой грани и её проекцией на основание (радиусом $r$). Из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, радиусом $r$ и апофемой, найдём высоту $H$: $H = r \cdot \operatorname{tg}(60^\circ) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ см 4. Вычислим объём пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$: $V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}$ см$^3$

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при основании пирамиды — 60°. Найдите объем пирамиды.

Ответ ассистента

Другие решения