Question

1.Решить уравнения (из 5 уравнений любые 2 уравнения обязательно должны быть решены по теореме Виета); 2. Периметр ромба равен 144, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба; 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Accepted Answer

1. Решим два уравнения с использованием замены переменной и теоремы Виета.

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$
Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 5t + 4 = 0$
По теореме Виета:
$\begin{cases} t_1 + t_2 = 5 \ t_1 \cdot t_2 = 4 \end{cases}$
$t_1 = 1, t_2 = 4$
Обратная замена:
$x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$
$x^2 = 4 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = -2$
Ответ: -2; -1; 1; 2.

$x^4 - 6x^2 + 8 = 0$
Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 6t + 8 = 0$
По теореме Виета:
$\begin{cases} t_1 + t_2 = 6 \ t_1 \cdot t_2 = 8 \end{cases}$
$t_1 = 2, t_2 = 4$
Обратная замена:
$x^2 = 2 \Rightarrow x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$
$x^2 = 4 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = -2$
Ответ: -2; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2.

2. Ответ: 648

Решение:
1) Найдем сторону ромба $a$. У ромба все стороны равны, а периметр $P = 4a$.
$a = 144 : 4 = 36$.
2) Площадь ромба вычисляется по формуле: $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами.
$S = 36^2 \cdot \sin(30^\circ) = 1296 \cdot 0,5 = 648$.

3. Ответ: 24

Решение:
Площадь ромба через диагонали: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$.
Посчитаем клетки на рисунке:
Горизонтальная диагональ $d_1 = 8$ клеток.
Вертикальная диагональ $d_2 = 6$ клеток.
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$.

Ответ ассистента

Другие решения