Докажите, что в прямоугольном треугольнике ABC медиана, проведённая к гипотенузе AB, равна половине гипотенузы.

Ответ: Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна её половине. **Доказательство (по тексту задачи):** 1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$ с прямым углом $C$. Проведём отрезок $CD$ так, чтобы $\angle 1 = \angle 2$. 2. В $\triangle ADC$, так как $\angle 1 = \angle 2$, треугольник является равнобедренным по признаку. Следовательно, $DA = DC$. 3. Так как $\angle C = 90^{\circ}$, то $\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$. 4. В прямоугольном $\triangle ABC$ сумма острых углов равна $90^{\circ}$, значит $\angle 1 + \angle 4 = 90^{\circ}$. 5. Сравнивая равенства $\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$ и $\angle 1 + \angle 4 = 90^{\circ}$ (учитывая, что $\angle 1 = \angle 2$), получаем, что $\angle 3 = \angle 4$. 6. В $\triangle BCD$, так как $\angle 3 = \angle 4$, треугольник является равнобедренным. Следовательно, $BD = CD$. 7. Получили, что $DA = DC$ и $BD = DC$. Значит, $DA = BD$, то есть точка $D$ — середина гипотенузы $AB$, а $CD$ — медиана. 8. Так как $CD = DA = BD$ и $AB = DA + BD$, то $CD = \frac{1}{2} AB$.