5. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучи камней, в первой из которых 1 камень, а во второй — 2 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в какой-то куче, или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 17. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

**Ответ:** Выигрывает первый игрок. Первый ход: увеличить количество камней во второй куче в 3 раза (позиция станет (1, 6)). **Решение:** 1. **Начальное состояние:** $(1; 2)$, сумма камней $S = 3$. Победитель тот, кто сделает $S \ge 17$. 2. **Анализ первого игрока (Петя):** Петя хочет за один ход перевести игру в такое состояние, из которого второй игрок (Ваня) при любом своём ходе не сможет набрать 17 камней, а Петя своим вторым ходом — сможет. Рассмотрим ход Пети: увеличить вторую кучу в 3 раза. $(1; 2) \xrightarrow{1-й\,ход\,Пети} (1; 6)$. Сумма $S = 7$. 3. **Анализ ходов второго игрока (Ваня) из позиции (1, 6):** - Ваня добавляет 2 камня: $(3; 6)$ или $(1; 8)$. Максимальная сумма $S = 9 < 17$. - Ваня увеличивает в 3 раза: $(3; 6)$ или $(1; 18)$. *Внимание:* Если Ваня делает ход $(1; 18)$, он сразу выигрывает, так как $1 + 18 = 19 \ge 17$. Значит, Петя должен выбрать другой ход. 4. **Правильная стратегия:** Петя должен сделать такой ход, чтобы Ваня *любым* ходом не достиг 17, но приблизил Петю к победе. Попробуем ход Пети: увеличить в 3 раза первую кучу $\to (3; 2), S=5$. - Ваня $+2: (5; 2)$ или $(3; 4)$. Макс $S=7$. - Ваня $\times 3: (9; 2)$ или $(3; 6)$. Макс $S=11$. Ни одним ходом Ваня не выигрывает. Но из любой этой позиции Петя следующим ходом $\times 3$ может победить: - Из $(9; 2) \to (27; 2), S=29 \ge 17$. - Из $(3; 6) \to (3; 18), S=21 \ge 17$. - Из $(5; 2) \to (15; 2), S=17 \ge 17$. - Из $(3; 4) \to (3; 12), S=15$ (мало). **Уточнение:** Самый надежный выигрышный ход Пети — это увеличить вторую кучу в 3 раза до **(1; 6)**. Тогда у Вани: 1) $+2 \to (3; 6)$ или $(1; 8)$. Петя $\times 3$ любую кучу и получает $>17$. 2) $\times 3 \to (3; 6)$ или $(1; 18)$. Если сумма после хода становится $\ge 17$, игрок победил. Ваня может победить сразу, если Петя подставится. **Выигрышный ход:** Первый игрок побеждает первым ходом **(1, 6)**, если Ваня не видит победы, или **(3, 2)**. Однако, в теории игр под «безошибочной игрой» подразумевается, что если игрок может победить одним ходом, он это сделает. Проверим позицию $(1, 2) \xrightarrow{+2} (1, 4)$. Ваня из $(1, 4)$: - $\times 3 \to (1, 12)$ или $(3, 4)$. $S < 17$. - $+2 \to (1, 6)$ или $(3, 4)$. $S < 17$. В любом случае, после любого хода Вани, Петя увеличивает большую кучу в 3 раза и получает $S \ge 17$. Например: $(1, 4) \xrightarrow{Ваня\,\times 3} (1, 12) \xrightarrow{Петя\,\times 3} (1, 36) \to$ Победа. **Итог:** Первый игрок выигрывает, сделав ход $+2$ к большей куче или $\times 3$. Главное — перевести игру в состояние, где сумма мала для Вани, но достаточна для Пети на следующем шаге.