Решите графически уравнение: 1) log(1/2) x = x + 1/2; 2) log3 x = 4 - x. Определите графически количество корней уравнения: 1) log2 x = -x; 2) log3 x = -x^2; 3) log(1/2) x = sqrt(x). Сколько корней имеет уравнение: 1) (1/2)^x = log2 x; 2) log2 x = 1/x?

### 5.28. Решите графически уравнение: 1) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$ **Ответ: $x = 0,5$** Решение: Построим в одной системе координат графики функций $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y = x + 0,5$. - График логарифмической функции проходит через точки $(0,5; 1)$, $(1; 0)$, $(2; -1)$. - График линейной функции проходит через точки $(0; 0,5)$ и $(0,5; 1)$. Точка пересечения графиков имеет абсциссу $x = 0,5$. :::div .chart-container @chart-5-28-1::: 2) $\log_3 x = 4 - x$ **Ответ: $x = 3$** Решение: Построим графики $y = \log_3 x$ и $y = 4 - x$. - Логарифм проходит через точки $(1; 0)$, $(3; 1)$, $(9; 2)$. - Прямая проходит через точки $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(4; 0)$. Точка пересечения имеет абсциссу $x = 3$. :::div .chart-container @chart-5-28-2::: --- ### 5.29. Определите графически количество корней уравнения: 1) $\log_2 x = -x$ **Ответ: 1 корень** Решение: Функция $y = \log_2 x$ возрастает на всей области определения $(x > 0)$, а $y = -x$ убывает. Графики пересекаются в одной точке. 2) $\log_3 x = -x^2$ **Ответ: 0 корней** Решение: При $x > 0$ значение логарифма $\log_3 x$ может быть любым, но график $y = -x^2$ при $x > 0$ всегда лежит ниже оси $Ox$ и круто уходит вниз. Однако, проверим область значений: при $x \to 0$, $\log_3 x \to -\infty$, а $-x^2 \to 0$. При $x=1$: $\log_3 1 = 0$, а $-1^2 = -1$. Так как логарифм растет медленнее, чем убывает парабола, точек пересечения нет (левая часть всегда больше правой при $x \ge 1$, и меньше при очень малых $x$, но здесь они не пересекаются). 3) $\log_{\frac{1}{2}} x = \sqrt{x}$ **Ответ: 1 корень** Решение: $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$, а $y = \sqrt{x}$ возрастает от $0$. Графики обязательно пересекутся в одной точке. --- ### 5.30. Сколько корней имеет уравнение: 1) $(\frac{1}{2})^x = \log_2 x$ **Ответ: 1 корень** Решение: Показательная функция $y = (0,5)^x$ убывает, принимая значения от $+\infty$ до $0$. Логарифмическая функция $y = \log_2 x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Они пересекаются ровно в одной точке. 2) $\log_2 x = \frac{1}{x}$ **Ответ: 1 корень** Решение: $y = \log_2 x$ возрастает, $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$ убывает. Графики пересекаются в одной точке.