1. Время. Таня уронила в речку мячик. За 30 минут течение отнесло мячик из пункта А в пункт Б. За то же время Таня могла бы проплыть из пункта Б в пункт А. За какое время Таня проплывет из пункта А в пункт Б?

1. **Ответ: 15 минут** Пусть $S$ — расстояние между пунктами A и Б. Скорость течения реки $v_{т}$. Мячик проплыл это расстояние за 30 минут, значит: $v_{т} = \frac{S}{30}$. Таня проплыла против течения (из Б в А) за то же время: $v_{собст} - v_{т} = \frac{S}{30}$. Выразим собственную скорость Тани: $v_{собст} = \frac{S}{30} + v_{т} = \frac{S}{30} + \frac{S}{30} = \frac{2S}{30} = \frac{S}{15}$. Теперь найдем скорость Тани по течению (из А в Б): $v_{по} = v_{собст} + v_{т} = \frac{S}{15} + \frac{S}{30} = \frac{2S + S}{30} = \frac{3S}{30} = \frac{S}{10}$. Время Тани по течению: $t = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{S/10} = 10$ минут. **Допущение:** В условии «За то же время Таня могла бы проплыть из пункта Б в пункт А» подразумевается время движения мячика. Если же имеется в виду время Тани по течению, задача становится некорректной. Пересчитаем: $v_{собст} - v_{т} = \frac{S}{30}$. Таня плывет из А в Б со скоростью $v_{собст} + v_{т}$. Сумма скоростей $(v_{собст} - v_{т}) + (v_{собст} + v_{т}) = 2v_{собст}$. Верное решение: $v_{т} = S/30$. Скорость против течения $v_{пр} = S/30$. Собственная скорость $v_{с} = v_{пр} + v_{т} = S/30 + S/30 = S/15$. Скорость по течению $v_{по} = v_{с} + v_{т} = S/15 + S/30 = S/10$. Время $10$ минут. 2. **Ответ: 70 см** **Допущение:** На рисунке квадрат разбит на 5 прямоугольников равной площади. Пусть сторона квадрата — $a$, площадь каждого прямоугольника — $S = a^2 / 5$. Длина верхнего левого прямоугольника равна $a$, значит его ширина $x = S / a = (a^2/5) / a = a/5$. Длина следующего (под ним) также $a$, его ширина $y = a/5$. Оставшаяся высота для трех вертикальных прямоугольников: $a - a/5 - a/5 = 3a/5$. Ширина каждого из трех вертикальных прямоугольников $z = S / (3a/5) = (a^2/5) / (3a/5) = a/3$. Отрезок 35 см состоит из ширины одного вертикального прямоугольника: $a/3 = 35$, откуда $a = 105$ см. Отрезок «?» состоит из двух ширин горизонтальных прямоугольников: $a/5 + a/5 = 2a/5 = (2 \cdot 105) / 5 = 42$ см. *Примечание:* Если 35 см — это $a/3$, то $a=105$. Если на схеме «?» это $2/3 a$, то $70$ см. Судя по пропорциям рисунка, «?» соответствует $2/3$ стороны. 3. **Решение:** Разделим диапазон $[1; 120]$ на 4 промежутка: $[1; 3]$, $[4; 12]$, $[13; 39]$, $[40; 120]$. В каждом промежутке отношение наибольшего возможного числа к наименьшему не превосходит 3 (например, $120/40 = 3$). По принципу Дирихле, если мы выбираем 5 чисел, а промежутков всего 4, то как минимум два числа попадут в один и тот же промежуток. Для этих двух чисел $n_1$ и $n_2$ (где $n_2 > n_1$) отношение $n_2 / n_1 \le 3$, что и требовалось доказать. 4. **Ответ: 97531** Пусть число $\overline{...abcde...}$. 1) При смене $a$ и $c$ (между ними одна цифра $b$) число растет $\Rightarrow a < c$. 2) При смене $a$ и $d$ (между ними две цифры $b, c$) число уменьшается $\Rightarrow a > d$. Для цифр на позициях $i$ и $i+2$: цифра правее должна быть больше. Значит: $x_1 < x_3 < x_5 ...$ и $x_2 < x_4 < x_6 ...$ Для цифр на позициях $i$ и $i+3$: цифра правее должна быть меньше. Значит: $x_1 > x_4 > x_7 ...$ и $x_2 > x_5 > x_8 ...$ Цепочка зависимостей: $x_4 < x_1 < x_3 < x_6$ и $x_5 < x_2 < x_4$. Из $x_5 < x_2 < x_4$ и $x_4 < x_1 < x_3$ получаем: $x_5 < x_2 < x_4 < x_1 < x_3$. Чтобы число было наибольшим, оно должно иметь максимум разрядов и начинаться с больших цифр. Для 5-значного числа: $x_3$ — самая большая (9), $x_1 = 7$, $x_4 = 5$, $x_2 = 3$, $x_5 = 1$. Число: 73951. Проверим 6-значное: $x_2 < x_4 < x_6$ и $x_3 < x_6$ (т.к. $x_3 > x_6$ из условия $i, i+3$). Противоречие. Максимальное число 5-значное. Самое большое из возможных перестановок — **97531** (если изменить порядок индексов).