Из центра O квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM длиной 12 см. Найдите площадь треугольника ABM.

**Задача 4** Ответ: $135 \text{ см}^2$ 1. Найдём расстояние от центра $O$ до стороны $AB$. В квадрате это расстояние равно половине стороны: $OK = 18 / 2 = 9 \text{ см}$. 2. Отрезок $MK$ является высотой треугольника $ABM$ по теореме о трёх перпендикулярах ($OM \perp (ABC)$, $OK \perp AB \Rightarrow MK \perp AB$). 3. Из прямоугольного $\triangle MOK$ по теореме Пифагора: $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$. 4. Площадь $\triangle ABM$: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15 = 9 \cdot 15 = 135 \text{ см}^2$. **Задача 5** Ответ: $16 \text{ см}$ 1. Проведём высоту $AH$ в равнобедренном $\triangle ABC$. Т.к. $AB=AC$, то $H$ — середина $BC$: $BH = 24 / 2 = 12 \text{ см}$. 2. Из $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ см}$. 3. По теореме о трёх перпендикулярах ($MA \perp (ABC)$, $AH \perp BC$), отрезок $MH$ — искомое расстояние от $M$ до $BC$. 4. Из $\triangle MAH$ по теореме Пифагора: $MH = \sqrt{MA^2 + AH^2} = \sqrt{24^2 + 16^2} = \sqrt{576 + 256} = \sqrt{832} = \sqrt{64 \cdot 13} = 8\sqrt{13} \text{ см}$. **Допущение:** В условии задачи 5 не указана длина $AM$ в тексте явно («имеет длину 24 см» отнесено к $AM$). **Задача 6** Ответ: $\sqrt{33,25} \approx 5,77 \text{ см}$ 1. В правильном треугольнике центр $O$ — это точка пересечения медиан (высот). Расстояние от центра до стороны (радиус вписанной окружности $r$) вычисляется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, где $a = 10 \text{ см}$. $OK = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см}$. 2. Искомое расстояние $MK$ находим из прямоугольного $\triangle MOK$ ($OM=5 \text{ см}$): $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{25 + \frac{25 \cdot 3}{9}} = \sqrt{25 + \frac{25}{3}} = \sqrt{\frac{75+25}{3}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.