Домашнее задание на 14.02.26. 1. Решите уравнения относительно переменной x. 2. Решить задачу с кратким обоснованием. 3. Решите задачи, используя правила суммы и произведения.

### 1. Решение уравнений а) $b(b-1)(2b+4)x = b^2 - b$ Вынесем общий множитель в правой части: $b(b-1)(2b+4)x = b(b-1)$. 1. Если $b \neq 0$, $b \neq 1$, $b \neq -2$, то $x = \frac{b(b-1)}{b(b-1)(2b+4)} = \frac{1}{2b+4}$. 2. Если $b = 0$ или $b = 1$, то $0 \cdot x = 0$, $x$ — любое число. 3. Если $b = -2$, то $0 \cdot x = -2(-3) = 6$, решений нет. б) $ax + 4a = -16 - 4x$ Перенесем слагаемые с $x$ влево, остальное вправо: $ax + 4x = -4a - 16$. $x(a+4) = -4(a+4)$. 1. Если $a \neq -4$, то $x = \frac{-4(a+4)}{a+4} = -4$. 2. Если $a = -4$, то $0 \cdot x = 0$, $x$ — любое число. в) $4|x-2| + 6x + 1 - 11|2-x| = 14x - 5|x-2| + 5$ Заметим, что $|2-x| = |x-2|$. Упростим уравнение, перенеся модули в одну сторону: $4|x-2| - 11|x-2| + 5|x-2| = 14x - 6x + 5 - 1$ $-2|x-2| = 8x + 4$ $|x-2| = -4x - 2$ Уравнение имеет смысл при $-4x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \le -0,5$. Тогда $x-2$ всегда отрицательно, и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. $2-x = -4x - 2$ $3x = -4$ $x = -\frac{4}{3} \approx -1,33$ (подходит под условие $x \le -0,5$). **Ответ:** $-1 \frac{1}{3}$. ### 2. Решение задачи **Ответ:** 90 км/ч. **Обоснование:** Пусть $x$ км/ч — скорость до остановки. Время задержки — 1 ч. Чтобы компенсировать этот час за 3 часа пути, поезд ехал со скоростью $(x+30)$ км/ч. Расстояние, пройденное за 3 ч с новой скоростью, равно расстоянию, которое он должен был пройти за 4 ч (3 ч пути + 1 ч задержки) со старой скоростью. $4x = 3(x+30)$ $4x = 3x + 90$ $x = 90$ (км/ч). ### 3. Комбинаторные задачи а) Чтобы добраться из A в D, нужно проехать по маршруту $A \to B \to C \to D$. По правилу произведения: $7 \cdot 9 \cdot 5 = 315$ способов. **Ответ:** 315 способов. б) Выберем водителя: 3 способа (так как только трое могут сесть за руль). Оставшиеся 6 человек распределяются на 6 мест произвольно: $P_6 = 6! = 720$ способов. Общее число способов: $3 \cdot 720 = 2160$ способов. **Ответ:** 2160 способов. в) Считаем тома 2 и 3 за один блок. Тогда у нас 4 «объекта» для перестановки (блок + тома 1, 4, 5). Число перестановок: $4! = 24$. Внутри блока тома 2 и 3 могут стоять в 2 положениях (2-3 или 3-2). Итого: $24 \cdot 2 = 48$ способов. **Ответ:** 48 способов.