Найдите min и max значения функции на отрезке [a; b]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[a; b]$ нужно: 1. Найти производную функции. 2. Найти критические точки (где $f'(x)=0$), которые лежат внутри данного отрезка. 3. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка. 4. Выбрать самое большое и самое маленькое значения. **1.** $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, на $[-1; 3]$ $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ (обе входят в отрезок). $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2$ $f(0) = 0 - 0 + 2 = 2$ $f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$ $f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2$ **Ответ:** $\max = 2$, $\min = -2$. **2.** $f(x) = x^4 - 10x^2 + 9$, на $[-3; 3]$ $f'(x) = 4x^3 - 20x = 4x(x^2 - 5)$ Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{5}$, $x_3 = -\sqrt{5}$ (все входят в отрезок). $f(\pm 3) = 81 - 10 \cdot 9 + 9 = 0$ $f(0) = 9$ $f(\pm\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$ **Ответ:** $\max = 9$, $\min = -16$. **3.** $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$, на $[-4; 3]$ и $[-2; 1]$ $f'(x) = 6x^2 + 6x - 36 = 6(x^2 + x - 6) = 6(x + 3)(x - 2)$ Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. А) Для $[-4; 3]$: $f(-4) = -128 + 48 + 144 = 64$ $f(-3) = -54 + 27 + 108 = 81$ $f(2) = 16 + 12 - 72 = -44$ $f(3) = 54 + 27 - 108 = -27$ **Ответ:** $\max = 81$, $\min = -44$. Б) Для $[-2; 1]$ (критические точки $-3$ и $2$ не входят в отрезок): $f(-2) = -16 + 12 + 72 = 68$ $f(1) = 2 + 3 - 36 = -31$ **Ответ:** $\max = 68$, $\min = -31$. **4.** $f(x) = 3x^2 - 6x + 5$, на $[0; 3]$ $f'(x) = 6x - 6$ Критическая точка: $x = 1$. $f(0) = 5$ $f(1) = 3 - 6 + 5 = 2$ $f(3) = 3 \cdot 9 - 18 + 5 = 14$ **Ответ:** $\max = 14$, $\min = 2$. **5.** $f(x) = \frac{1x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2$, на $[-2; 4]$ $f'(x) = x^3 - 2x^2 - 3x = x(x^2 - 2x - 3) = x(x - 3)(x + 1)$ Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -1$. $f(-2) = 4 + \frac{16}{3} - 6 + 2 = 5\frac{1}{3}$ $f(-1) = 0.25 + \frac{2}{3} - 1.5 + 2 = 1\frac{5}{12}$ $f(0) = 2$ $f(3) = \frac{81}{4} - 18 - \frac{27}{2} + 2 = 20.25 - 18 - 13.5 + 2 = -9.25$ $f(4) = 64 - \frac{128}{3} - 24 + 2 = 42 - 42\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$ **Ответ:** $\max = 5\frac{1}{3}$, $\min = -9.25$.