1. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

1. **Ответ: 25 см²** Решение: Высота $h = 5 \cdot 2 = 10$ см. $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25$ см². 2. **Ответ: гипотенуза — 10 см, площадь — 24 см²** Решение: По теореме Пифагора гипотенуза $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см. $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см². 3. **Ответ: площадь — 40 см², периметр — 4\sqrt{41} см** Решение: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40$ см². Сторона ромба $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$ см. $P = 4a = 4\sqrt{41}$ см. 4. **Ответ: 13,5 см²** Решение: В прямоугольной трапеции $ABCK$ ($AB \perp AK$): большая боковая сторона — это $CK = 3\sqrt{2}$ см. Из $\triangle CHK$ ($CH$ — высота): $CH = CK \cdot \sin(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$ см. $HK = CK \cdot \cos(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$ см. Так как $CH$ делит $AK$ пополам, то $AH = HK = 3$ см, значит $AK = 6$ см. $ABCH$ — прямоугольник, значит $BC = AH = 3$ см. $S = \frac{BC + AK}{2} \cdot CH = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} \cdot 3 = 4,5 \cdot 3 = 13,5$ см².