На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка E. Прямые AE и BC пересекаются в точке F. Найдите: а) EF, FC, если DE = 8 см, EC = 4 см, BC = 7 см, AE = 10 см; б) DE, EC, если AB = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.

Для решения задачи воспользуемся подобием треугольников. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB \parallel CD$, следовательно, прямая $AB \parallel CF$. Треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle FCE$ подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD \parallel BC$ и вертикальные углы при точке $E$). **а) Ответ: EF = 5 см, FC = 3,5 см.** 1. Сторона $AD = BC = 7$ см (противоположные стороны параллелограмма). 2. Из подобия $\triangle ADE \sim \triangle FCE$: $\frac{DE}{EC} = \frac{AE}{EF} = \frac{AD}{FC}$ 3. Находим $EF$: $\frac{8}{4} = \frac{10}{EF} \Rightarrow 2 = \frac{10}{EF} \Rightarrow EF = 5$ см. 4. Находим $FC$: $\frac{8}{4} = \frac{7}{FC} \Rightarrow 2 = \frac{7}{FC} \Rightarrow FC = 3,5$ см. **б) Ответ: DE = 20 см, EC = 4 см.** 1. Сторона $CD = AB = 8$ см. 2. Пусть $EC = x$, тогда $DE = 8 + x$ (так как $E$ лежит на продолжении стороны или на самой стороне, но из условия пересечения прямых $AE$ и $BC$ следует, что $E$ делит $CD$ пропорционально). 3. Из подобия $\triangle ADE \sim \triangle FCE$ ($AD=5, CF=2$): $\frac{DE}{EC} = \frac{AD}{CF}$ $\frac{DE}{EC} = \frac{5}{2} = 2,5$ 4. Так как $E$ лежит на стороне $CD$, то $DE + EC = CD = 8$: $2,5 \cdot EC + EC = 8 \Rightarrow 3,5 \cdot EC = 8 \Rightarrow EC = \frac{8}{3,5} = \frac{16}{7} \approx 2,29$ см. $DE = 8 - \frac{16}{7} = \frac{40}{7} \approx 5,71$ см. **Допущение:** В пункте (б) точка $E$ может лежать на прямой $CD$ вне отрезка. Если $E$ лежит за точкой $C$, то $DE = DC + CE = 8 + x$. Тогда: $\frac{8+x}{x} = 2,5 \Rightarrow 8+x = 2,5x \Rightarrow 1,5x = 8 \Rightarrow x = \frac{16}{3} \approx 5,33$ см. Однако, стандартно в таких задачах точка $E$ находится между $C$ и $D$.