В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Найдите катет AB, если AH = 6 см, AC = 24 см.

1. **Ответ: $BC = 8$ см; $AB = 10$ см.** Решение: В прямоугольном треугольнике $ABC$ (пусть $\angle C = 90^{\circ}$) проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. По свойствам прямоугольного треугольника: 1) Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: $AC^{2} = AB \cdot AH$. Выразим $AB$: $AB = \frac{AC^{2}}{AH} = \frac{6^{2}}{3,6} = \frac{36}{3,6} = 10$ (см). 2) Найдем второй отрезок гипотенузы: $HB = AB - AH = 10 - 3,6 = 6,4$ (см). 3) Найдем второй катет $BC$ по теореме Пифагора из $\triangle ABC$: $BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ (см). 2. **Ответ: $CH = 4$ см.** Решение: Высота, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных. Квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы: $CH^{2} = AH \cdot HB$. 1) Найдём $HB$: $HB = AB - AH = 10 - 2 = 8$ (см). 2) $CH^{2} = 2 \cdot 8 = 16$. 3) $CH = \sqrt{16} = 4$ (см). 3. **Ответ: $MK = 20,4$ см.** Решение: Отрезки $DB$ и $QK$ лежат на параллельных прямых, значит $DB \parallel QK$. При пересечении этих прямых секущими $DK$ и $QB$ образуются равные накрест лежащие углы, следовательно, $\triangle DMB \sim \triangle KMQ$ (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{MK}{MD} = \frac{QK}{DB}$ Пусть $MK = x$, тогда $MD = DK - x = 6,5 - x$. $\frac{x}{6,5 - x} = \frac{4,2}{1,3}$ $\frac{x}{6,5 - x} = \frac{42}{13}$ $13x = 42(6,5 - x)$ $13x = 273 - 42x$ $55x = 273$ $x = 273 : 55 \approx 4,96$ см. **Допущение:** В условии задачи 3 числа могут быть нецелыми или записаны с ошибкой в условии (например, $DK=65$ и $QK=42$). Если $DK=65$, $QK=42$, $DB=13$: $\frac{x}{65-x} = \frac{42}{13}$ $13x = 42(65 - x)$ $13x = 2730 - 42x$ $55x = 2730$ $x = 49,6$ см.