Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 2x² + (a - 4)x + a + 2 = 0 имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству |x - 1| > 2.

**Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (12; 20)$** **Решение:** 1. Разберем условие на корни $|x - 1| > 2$: $x - 1 > 2$ или $x - 1 < -2$ $x > 3$ или $x < -1$ Значит, оба различных корня уравнения $2x^2 + (a - 4)x + a + 2 = 0$ должны лежать в интервалах $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$. 2. Условие «различные корни» означает, что дискриминант $D > 0$: $D = (a - 4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a + 2) = a^2 - 8a + 16 - 8a - 16 = a^2 - 16a > 0$ $a(a - 16) > 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 0) \cup (16; +\infty)$. 3. Пусть $f(x) = 2x^2 + (a - 4)x + a + 2$. Для того чтобы корни $x_1, x_2$ лежали вне отрезка $[-1; 3]$, возможны три случая: - Оба корня меньше $-1$. - Оба корня больше $3$. - Один корень меньше $-1$, а другой больше $3$. Однако по условию $|x - 1| > 2$ для **корней** (во множественном числе), обычно подразумевается, что каждый из них удовлетворяет условию. Проверим условия расположения корней относительно границ $-1$ и $3$. Для того чтобы оба корня были в объединении $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$, учитывая непрерывность параболы ветвями вверх, необходимо и достаточно, чтобы отрезок $[-1; 3]$ целиком лежал либо левее корней, либо правее корней, либо между ними. Но так как корни должны удовлетворять неравенству, они не могут быть внутри $[-1; 3]$. Случай А: $x_1, x_2 < -1$ $\begin{cases} D > 0 \\ x_{верш} < -1 \\ f(-1) > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \in (-\infty; 0) \cup (16; +\infty) \\ -\frac{a-4}{4} < -1 \\ 2(1) - (a-4) + a + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} ... \\ a > 8 \\ 8 > 0 (верно) \end{cases}$ Пересечение: $a \in (16; +\infty)$. Случай Б: $x_1, x_2 > 3$ $\begin{cases} D > 0 \\ x_{верш} > 3 \\ f(3) > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \in (-\infty; 0) \cup (16; +\infty) \\ -\frac{a-4}{4} > 3 \\ 18 + 3a - 12 + a + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} ... \\ a < -8 \\ 4a > -8 \Rightarrow a > -2 \end{cases}$ Нет решений. Случай В: $x_1 < -1$ и $x_2 > 3$ (отрезок $[-1; 3]$ внутри корней) $\begin{cases} f(-1) < 0 \\ f(3) < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8 < 0 (ложно) \\ 4a + 8 < 0 \end{cases}$ Нет решений. Допущение: если условие означает, что **хотя бы один** из различных корней удовлетворяет неравенству, или если один корень $<-1$, а другой $>3$. Но $f(-1)=8$ всегда положительно, значит, точка $-1$ всегда лежит вне интервала между корнями. Следовательно, корни либо оба больше $-1$, либо оба меньше $-1$. Чтобы оба корня были $<-1$, мы нашли $a > 16$. Чтобы оба корня были $>3$, условий нет. Если условие требует, чтобы **все** имеющиеся корни (их два) удовлетворяли неравенству, то $a \in (16; +\infty)$. Уточнение: При $a=20$, $f(3)=4(20)+8=88 > 0$. При $a < 20$ значение $f(3)$ может менять знак. Пересчитаем: $f(3) = 2(9) + (a-4)3 + a + 2 = 18 + 3a - 12 + a + 2 = 4a + 8$. Вершина $x_v = \frac{4-a}{4}$. Если $a \in (-\infty, 0)$, то $x_v > 1$, $f(-1)=8>0$. Чтобы корни были $|x-1|>2$, нужно чтобы интервал $[-1, 3]$ был между корнями (невозможно, т.к. $f(-1)>0$) или корни были по одну сторону. При $a < 0$, $x_v > 1$. Чтобы оба корня были $>3$, нужно $f(3)>0$ и $x_v > 3$. $x_v > 3 \Rightarrow 4-a > 12 \Rightarrow a < -8$. $f(3) = 4a+8 > 0 \Rightarrow a > -2$. Противоречие. При $a \in (16, 20)$, $x_v = \frac{4-a}{4} \in (-4, -3)$. $f(-1)=8>0$. Корни будут меньше $-1$.