В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 76. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

1. **Ответ: 228** В треугольнике $ABC$ отрезок $NM$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Средняя линия отсекает треугольник $CNM$, площадь которого составляет $\frac{1}{4}$ от площади всего треугольника $ABC$ ($S_{CNM} = \frac{1}{4} S_{ABC}$). 1) Найдём площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = 4 \cdot S_{CNM} = 4 \cdot 76 = 304$. 2) Площадь четырёхугольника $ABMN$ равна разности площадей: $S_{ABMN} = S_{ABC} - S_{CNM} = 304 - 76 = 228$. 2. **Ответ: 612,5** В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен $45^\circ$, то второй острый угол тоже равен $45^\circ$ ($90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$). Значит, треугольник равнобедренный, и его катеты равны. 1) Второй катет равен $35$. 2) Площадь прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 35 = \frac{1225}{2} = 612,5$. 3. **Ответ: 8** Посчитаем клетки по горизонтали и вертикали у прямоугольного треугольника на рисунке: Вертикальный катет равен $8$ клеткам. Горизонтальный катет равен $6$ клеткам. Больший катет равен $8$. 4. **Ответ: 11** Площадь фигуры на клетчатой бумаге равна количеству целых клеток, которые она занимает. Просто пересчитаем закрашенные оранжевым клетки. Всего в фигуре $11$ клеток. 5. **Ответ: 4,5** Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований. 1) Верхнее основание (меньшее) = $3$ клетки. 2) Нижнее основание (большее) = $6$ клеток. 3) Средняя линия = $\frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$. 6. **Ответ: в 2 раза** По рисунку на клетчатой бумаге определим длины отрезков, считая клетки: 1) Отрезок $BM$ занимает по горизонтали $4$ клетки. 2) Отрезок $CM$ занимает по горизонтали $2$ клетки. 3) Отношение длин: $4 : 2 = 2$.